Уравнение Власова

В своей работе Власов сначала указывает на неприменимость газокинетического подхода, основанного на уравнении Больцмана (предполагается, что интеграл столкновений зависит только от парных столкновений), к описанию динамики плазмы с кулоновским взаимодействием. Он отмечает следующие проблемы, возникающие при попытке применения теории основанной на парных столкновений к описанию плазмы:

1. приближение парных столкновений не согласуется с исследованиями Рэлея и Ленгмюра и Тонкса, которые предсказали и исследовали ленгмюровские волны в электронной газовой плазме.[3][4]
2. приближение парных столкновений формально не применимо к кулоновскому взаимодействию из-за расходимости полного сечения рассеивания.
3. приближение парных столкновений не позволяет объяснить эксперименты Меррилла и Вебба об аномальном рассеянии электронов в газовой плазме.[5]

В качестве причины возникновения этих проблем Власов указывает на дальнодействующий характер кулоновских сил, что приводит к взаимодействию каждой из частиц с совокупностью других частиц. Дальнодействие в этом случае означает, что радиус влияния этой силы больше чем среднее расстояние между частицами.

Власов изначально рассматривал систему общих уравнений плазмы, включающих три компоненты (электроны, ионы и нейтральные атомы), и записывал уравнение Больцмана для s-ой компоненты плазмы в виде

${\displaystyle {\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}+\mathrm {div} _{\mathbf {r} }{\vec {v}}f_{s}+{\frac {e_{s}}{m_{s}}}\left({\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]\right)\mathrm {grad} _{\mathbf {v} }f_{s}=\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s1}^{st}+\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s2}^{st}+\left[{\frac {\partial f_{s}}{\partial t}}\right]_{s3}^{st}.}$

где ${\displaystyle f_{s}({\vec {r}},{\vec {p}},t)}$ — функция распределения. Эта система уравнений включала также уравнения Максвелла, и уравнения для заряда и тока, выраженные через функции распределения ${\displaystyle f_{s}}$. Так как Власов интересовался только волновыми решениями, то он пренебрёг вкладами интегралов столкновений, поскольку по оценкам выходило, что частоты плазменных волн много больше частот парных столкновений частиц в плазме. То есть вместо описания взаимодействия заряженных частиц в плазме посредством столкновений, предложил использовать самосогласованное поле, созданное заряженными частицами плазмы для описания длиннодействующего потенциала. Вместо уравнения Больцмана Власов предлагает использовать следующую систему уравнений для описания заряженных компонент плазмы (электронов с функцией распределений ${\displaystyle f_{e}({\vec {r}},{\vec {p}},t)}$ и положительных ионов с функцией распределения ${\displaystyle f_{i}({\vec {r}},{\vec {p}},t)}$):

${\displaystyle {\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {x}}}}-e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {p}}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {v}}{\frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {x}}}}+e{\Bigl (}{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}[{\vec {v}},{\vec {B}}]{\Bigr )}{\frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {p}}}}=0}$

${\displaystyle {\rm {rot}}{\vec {B}}={\frac {4\pi {\vec {j}}}{c}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}},\quad {\rm {rot}}{\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}$

${\displaystyle {\rm {div}}{\vec {E}}=4\pi \rho ,\quad {\rm {div}}{\vec {B}}=0}$

${\displaystyle \rho =e\int (f_{i}-f_{e})d^{3}{\vec {p}},\quad {\vec {j}}=e\int (f_{i}-f_{e}){\vec {v}}d^{3}{\vec {p}}}$

Здесь ${\displaystyle e}$ — заряд электрона, ${\displaystyle c}$ — скорость света, ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)}$ и ${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}},t)}$ — самосогласованные электрическое и магнитное поля, созданные в точке ${\displaystyle {\vec {r}}}$ в момент времени ${\displaystyle t}$ всеми заряженными частицами плазмы. Существенное отличие этой системы уравнений от уравнений движения заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле в том, что само самосогласованное электромагнитное поле сложным образом зависит от функций распределения ионов и электронов.

Уравнения Власова — Максвелла являются системой нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Если флуктуации функций распределения относительно равновесного состояния невелики, эта система уравнений может быть линеаризована. Линеаризация даст систему уравнений Власова — Пуассона, описывающую динамику плазмы в самосогласованном электростатическом поле. Уравнения Власова — Пуассона являются системой уравнений Власова для каждой компоненты плазмы (рассматриваем нерелятивистский предел):

${\displaystyle {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec {x}}}}+{\frac {q_{\alpha }{\vec {E}}}{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec {v}}}}=0,}$

и уравнения Пуассона для самосогласованного электрического поля:

${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=-\Delta \phi =4\pi \rho .}$

Здесь ${\displaystyle q_{\alpha }}$ — электрический заряд и ${\displaystyle m_{\alpha }}$ — масса частиц плазмы, ${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {x}},t)}$ — самосогласованное электрическое поле, ${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}$ — потенциал самосогласованного электрического поля и ${\displaystyle \rho }$ — плотность электрического заряда.

• И. П. Базаров, П. Н. Николаев. Анатолий Александрович Власов. — Физический факультет МГУ. — М., 1999. — С. 19—26. — (Выдающиеся учёные физического факультета МГУ). — Подробное обсуждение уравнений Власова.
• F. Pegoraro, F. Califano, G. Manfredi, P. J. Morrison. Theory and applications of the Vlasov equation (англ.) // Eur. Phys. J. D. — 2015. — Vol. 69. — P. 68. — doi:10.1140/epjd/e2015-60082-y. — arXiv:1502.03768.