Интегро-дифференциальные уравнения
Интегро-дифференциальные уравнения — класс уравнений, в которых неизвестная функция содержится как под знаком интеграла, так и под знаком дифференциала или производной.
где
- называется внешним дифференциальным оператором, а
- — внутренним дифференциальным оператором
- — ядро интегро-дифференциального уравнения
Некоторые интегро-дифференциальные уравнения можно свести к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве, однако существуют эволюционные интегро-дифференциальные уравнения (встречающиеся в теории упругости и моделях биологических процессов), содержащие интегрирование по времени, для которых это сделать сложно.
Классификация интегро-дифференциальных уравнений
Линейные интегральные уравнения
Линейными интегро-дифференциальными уравнениями называется уравнения, в которые внутренний дифференциальный оператор входит линейно:
Уравнения Фредгольма
Линейным интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма называется уравнение с постоянными пределами интегрирования
Уравнения Фредгольма 1-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 1-го рода называется уравнение вида:
Уравнения Фредгольма 2-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Фредгольма 2-го рода называется уравнение вида:
Уравнения Вольтерры
Линейным интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры называется уравнение с переменным верхним пределом интегрирования
Уравнения Вольтерры 1-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 1-го рода называется уравнение вида:
Уравнения Вольтерры 2-рода
Интегро-дифференциальным уравнением Вольтерры 2-го рода называется уравнение вида:
Нелинейные интегральные уравнения
Нелинейным уравнением Фредгольма называется интегро-дифференциальное уравнение, в которое внутренний дифференциальный оператор входит нелинейно:
Методы решения интегро-дифференциальных уравнений
См. также
Литература
- Г. А. Шишкин, Линейные интегро-дифференциальные уравнения Фредгольма. Учебное пособие по спецкурсу и спецсеминару. Издательство Бурятского госуниверситета 2007.