Признаки делимости

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Соответствующая признаку функция (см. раздел «Общие принципы построения»):

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0},<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10\\A-2,&2\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3. Например, число 159 делится на 3, поскольку сумма его цифр 1 + 5 + 9 = 15 делится на 3.

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}},&A\geqslant 10,\\A-3,&3\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 154, ${\displaystyle 1+5+4=10}$ и ${\displaystyle 1+0=1}$ равноостаточны при делении на 3.

Число делится на 4, когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4. Например, 14676 — последние цифры 76, и число 76 делится на 4: 76:4=19. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенная цифра в разряде десятков, сложенная с цифрой в разряде единиц, делится на 4. Например, число 42 не делится на 4, так как ${\displaystyle 2\cdot 4+2=10}$ не делится на 4.

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_{2}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-4,&4\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, ${\displaystyle 8\cdot 2+7=23}$ и ${\displaystyle 2\cdot 2+3=7}$ равноостаточны при делении на 4.

Более простая формулировка: Число делится на 4, если в последнем разряде 0, 4, 8, а предпоследний разряд чётный; или если в последнем разряде 2, 6, а предпоследний разряд нечётный.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5.

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 10,\\A-5,&5\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно чётное и сумма его цифр делится на 3).

Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 6.

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}4\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-6,&6\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 73, ${\displaystyle 7\cdot 4+3=31,}$ ${\displaystyle 3\cdot 4+1=13}$ и ${\displaystyle 1\cdot 4+3=7}$ равноостаточны при делении на 6.

Признак 1:

число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится ${\displaystyle 15\cdot 3+4=49.}$ 1001 делится на 7, так как на 7 делятся ${\displaystyle 100\cdot 3+1=301,\quad 30\cdot 3+1=91,\quad 9\cdot 3+1=28,\quad 2\cdot 3+8=14,\quad 1\cdot 3+4=7.}$

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}3\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-7,&7\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, ${\displaystyle 8\cdot 3+7=31,}$ ${\displaystyle 3\cdot 3+1=10}$ и ${\displaystyle 1\cdot 3+0=3}$ равноостаточны при делении на 7.

Модификации признака 1:

a) берётся первая слева цифра, умножается на 3, прибавляется следующая, и всё повторяется сначала: например, для 154: ${\displaystyle 1\cdot 3+5=8,\quad 8\cdot 3+4=28}$. Также на каждом шаге можно брать остаток от деления на 7: ${\displaystyle 1\cdot 3+5=8}$ остаток 1, ${\displaystyle 1\cdot 3+4=7}$ остаток 0. В обоих случаях итоговое число равноостаточно при делении на 7 с исходным числом.

b) если удвоенное число единиц числа отнять от оставшегося числа десятков и результат будет делиться на 7, то число кратно 7. Например: 784 делится на 7, так как 78 − (2 × 4) = 78 − 8 = 70 (${\displaystyle a_{1}-2\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle 3\,a_{1}-6\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle 3\,a_{1}-6\,a_{0}+7\,a_{0}=0{\bmod {7}}\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle 3\,a_{1}+a_{0}=0{\bmod {7}}}$).

Признак 2:

число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «−» делится на 7. Например, 138 689 257 делится на 7, так как на 7 делится ${\displaystyle |138-689+257|=294.}$

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{i=0}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,&A\geqslant 1000,\\A-7,&7\leqslant A<1000.\end{cases}}}$

Признак 3:

если разность между числом, состоящим из трёх последних цифр данного числа, и числом, образованным из оставшихся цифр данного числа (то есть без последних трёх цифр), делится на 7, то данное число делится на 7. Пример для числа 1730736: 1730 − 736 = 994, 994 / 7 = 142.

Число делится на 8, когда три последние цифры составляют число, делящееся на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой в разряде десятков и учетверённой цифрой в разряде сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится ${\displaystyle 9\cdot 4+5\cdot 2+2=48.}$

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=1000\,a_{3}+100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad 0\leqslant a_{2}<10,\quad a_{3}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}4\,a_{2}+2\,a_{1}+a_{0},&A\geqslant 10,\\A-8,&8\leqslant A<10.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 567, ${\displaystyle 5\cdot 4+6\cdot 2+7=39,}$ ${\displaystyle 3\cdot 2+9=15}$ и ${\displaystyle 1\cdot 2+5=7}$ равноостаточны при делении на 8.

Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9. Например, сумма цифр числа 12345678 делится на 9, следовательно и само число делится на 9. ${\displaystyle 1+2+3+4+5+6+7+8=36.}$

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 10,\\0,&A=9.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 345, ${\displaystyle 3+4+5=12}$ и ${\displaystyle 1+2=3}$ равноостаточны при делении на 9.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)=a_{0},\quad A\geqslant 10.}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11. Например, 9 163 627 делится на 11, так как ${\displaystyle \left|(9+6+6+7)-(1+3+2)\right|=22}$ делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как ${\displaystyle \left|(9+0+7)-(9+7)\right|=0}$ делится на 11.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}\quad 0\leqslant a_{i}<10,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)=\left|\sum _{i=0}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 11.}$

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся ${\displaystyle 10+37+85=132}$ и ${\displaystyle 01+32=33.}$

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\A-11,&11\leqslant A<100.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, ${\displaystyle 12+34+56=102}$ и ${\displaystyle 1+2=3}$ равноостаточны при делении на 11.

Признак 1: Число делится на 13, когда сумма числа десятков с учетверённой цифрой в разряде единиц делится на 13. Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся ${\displaystyle 84+5\cdot 4=104}$ и ${\displaystyle 10+4\cdot 4=26.}$

Признак 2: Число делится на 13, когда разность числа десятков с девятикратным числом, стоящего в разряде единиц, делится на 13. Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся ${\displaystyle 84-9\cdot 5=39.}$

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+4\,a_{0},&A\geqslant 40,\\A-13,&13\leqslant A<40.\end{cases}}}$

Признак 3: Число делится на 13, если разность между числом, состоящим из трёх последних цифр данного числа, и числом, образованным из оставшихся цифр данного числа (то есть без последних трёх цифр), делится на 13.Например 192218 делится на 13, так как 218-192=26, а 26 делится на 13.

Число делится на 17 в следующих случаях:

— когда модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как ${\displaystyle \left|22-5\cdot 1\right|=17}$ делится на 17.

— когда модуль суммы числа десятков и умноженной на 12 цифрой в разряде единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как ${\displaystyle \left|22+12\cdot 1\right|=34}$ делится на 17.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\left|a_{1}-5\,a_{0}\right|,&A\geqslant 40,\\A-17,&17\leqslant A<40.\end{cases}}}$

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенной цифрой в разряде единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся ${\displaystyle 64+2\cdot 6=76}$ и ${\displaystyle 7+2\cdot 6=19.}$

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+2\,a_{0},&A\geqslant 20,\\0,&A=19.\end{cases}}}$

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-20,&20\leqslant A<100.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся ${\displaystyle 288+3\cdot 42=414}$ и ${\displaystyle 4+3\cdot 14=46.}$

Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с умноженной на 7 цифрой в разряде единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как ${\displaystyle 39+7\cdot 1=46}$ делится на 23.

Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с умноженной на 7 цифрой в разряде десятков и утроенной цифрой в разряде единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как ${\displaystyle 3+7\cdot 9+3\cdot 1=69}$ делится на 23.

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25. Другими словами, на 25 делятся числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или 75.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-25,&25\leqslant A<100.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-27,&27\leqslant A<1000.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенной цифрой в разряде единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как ${\displaystyle 26+3\cdot 1=29}$ делится на 29.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+3\,a_{0},&A\geqslant 30,\\0,&A=29.\end{cases}}}$

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3. Например: 510 делится на 30, а 678 — нет.

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенной цифры в разряде единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как ${\displaystyle \left|21-3\cdot 7\right|=0}$ делится на 31.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)=\left|a_{1}-3\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 31.}$

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}1000^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<1000,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 1000,\\A-37,&37\leqslant A<1000.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённой цифрой в разряде десятков, за вычетом цифры в разряде единиц, умноженной на семь. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится ${\displaystyle \left|3\cdot 4+4\cdot 8-7\right|=37.}$

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_{2}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)=\left|3\,a_{2}+4\,a_{1}-7\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 37.}$

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с цифрой в разряде единиц, умноженной на десять, за вычетом цифры в разряде десятков, умноженной на 11. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится ${\displaystyle \left|4-11\cdot 8+10\cdot 1\right|=74.}$

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=100\,a_{2}+10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad 0\leqslant a_{1}<10,\quad a_{2}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\left|a_{2}-11\,a_{1}+10\,a_{0}\right|,&A\geqslant 100,\\A-37,&37\leqslant A<100.\end{cases}}}$

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратной цифры в разряде единиц делится на 41. Например, 369 делится на 41, так как ${\displaystyle \left|36-4\cdot 9\right|=0}$ делится на 41.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)=\left|a_{1}-4\,a_{0}\right|,\quad A\geqslant 41.}$

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Есть и другие (более удобные) признаки делимости на 41, см. 41 (число).

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=100\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<100,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant 100,\\A-50,&50\leqslant A<100.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, умноженной на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся ${\displaystyle 76+6\cdot 7=118}$ и ${\displaystyle 11+6\cdot 8=59.}$

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+6\,a_{0},&A\geqslant 60,\\0,&A=59.\end{cases}}}$

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, умноженной на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся ${\displaystyle 71+8\cdot 1=79}$.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=10\,a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<10,\quad a_{1}\geqslant 0,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{1}+8\,a_{0},&A\geqslant 80,\\0,&A=79.\end{cases}}}$

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится ${\displaystyle 1+25+73=99.}$

Соответствующая признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant 100,\\0,&A=99.\end{cases}}}$

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, ${\displaystyle 12+34+56=102}$ и ${\displaystyle 1+2=3}$ равноостаточны при делении на 99.

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится ${\displaystyle \left|59-5+47\right|=101.}$

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}100^{i}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<100,\quad i=0,1,\,\dots \,n,}$

${\displaystyle F(A)=\left|\sum _{i=0}^{n}\left(-1\right)^{i}a_{i}\right|,\quad A\geqslant 101.}$

Число делится на 1091 тогда и только тогда, когда разность числа десятков и умноженной на 109 цифры в разряде единиц делится на 1091. Например, 18547 делится на 1091, так как 1854 - 7 * 109 = 1091 делится на 1091.

Если для некоторых натуральных ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle t^{n}}$ делится на натуральное ${\displaystyle m,}$ то любое целое число ${\displaystyle A,}$ записанное в системе счисления по основанию ${\displaystyle t,}$ равноостаточно с числом, образованным ${\displaystyle n}$ младшими его цифрами. Это свойство позволяет построить признак делимости и равноостаточности на делитель степени основания системы счисления.

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=t^{n}a_{1}+a_{0},\quad 0\leqslant a_{0}<t^{n},\quad a_{1}\geqslant 0,\quad t^{n}\,\vdots \,m,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}a_{0},&A\geqslant t^{n},\\A-m,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}}$

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 и т. д.

Если для некоторых натуральных ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle t^{n}-1}$ делится на натуральное ${\displaystyle m,}$ то любое целое число ${\displaystyle A,}$ записанное в системе счисления по основанию ${\displaystyle t,}$ равноделимо с суммой чисел, образованных разбиением на группы по ${\displaystyle n}$ цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на ${\displaystyle m.}$

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}t^{in}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left(t^{n}-1\right)\,\vdots \,m,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\sum _{i=0}^{n}a_{i},&A\geqslant t^{n},\\A-m,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}}$

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 и т. д.

Если для некоторых натуральных ${\displaystyle t}$ и ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle t^{n}+1}$ делится на натуральное ${\displaystyle m,}$ то любое целое число ${\displaystyle A,}$ записанное в системе счисления по основанию ${\displaystyle t,}$ равноделимо с модулем знакопеременной суммы чисел, образованных разбиением на группы по ${\displaystyle n}$ цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на ${\displaystyle m.}$

Соответствующая этому признаку функция:

${\displaystyle A=\sum _{i=0}^{n}t^{in}a_{i},\quad 0\leqslant a_{i}<t^{n},\quad \quad \left(t^{n}+1\right)\,\vdots \,m,}$

${\displaystyle F(A)={\begin{cases}\left|\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}a_{i}\right|,&A\geqslant t^{n},\\A-m,&m\leqslant A<t^{n}.\end{cases}}}$

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 и т. д.

Время работы алгоритма, проверяющего делимость числа ${\displaystyle n}$ на некоторое другое число делением «в столбик», составляет ${\displaystyle O(\log n)}$. Таким образом во многих случаях так называемые «признаки делимости» не дают заметного выигрыша в количестве совершённых элементарных операций. Исключение составляют признаки делимости на числа вида ${\displaystyle 2^{a}5^{b}}$, время работы которых не зависит от размера проверяемого числа.