Проективно расширенная числовая прямая

На ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ нет какого-либо естественного линейного порядка, так как нет никакого естественного способа определить, больше ли бесконечность некоторого числа или меньше. Однако на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ определён циклический порядок. Его можно представить как направление движения по окружности от 0 к ∞ проходя через 1. То есть ${\displaystyle [a,b,c]}$ если они идут друг за другом при движении вдоль окружности по тому направлению, по которому идут друг за другом 0, 1 и ∞. Таким образом, при движении по этому порядку от 0 мы проходим по возрастанию все положительные числа, затем бесконечность, затем все отрицательные, а затем снова 0.

Формально этот порядок определяется следующими соотношениями:[4]

${\displaystyle [a,b,c]\Leftrightarrow a<b<c}$

${\displaystyle [\infty ,b,c]\Leftrightarrow b<c}$

${\displaystyle [a,\infty ,c]\Leftrightarrow a>c}$

${\displaystyle [a,b,\infty ]\Leftrightarrow a<b}$

случаи, когда бесконечностей больше одной, всегда неверны

Здесь все ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }$.

Циклический порядок определяет на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ интервалы как множества вида ${\displaystyle \{x|[a,x,b]\}}$ (отдельно определяются интервалы вида ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}\backslash \{a\}}$). В обычных обозначениях это может быть переписано следующим образом:[5]

Интервалом в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ называется либо множество вида ${\displaystyle (a;b)}$, либо ${\displaystyle (a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b)}$ для некоторых ${\displaystyle a,b\in {\overline {\mathbb {R} }}}$.

Отрезком в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ называется либо множество вида ${\displaystyle [a;b]}$, либо ${\displaystyle \{\infty \}\cup (-\infty ;b]}$, либо ${\displaystyle [a;+\infty )\cup \{\infty \}}$, либо ${\displaystyle [a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b]}$ для некоторых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$.

Полуинтервалом в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ называется либо множество вида ${\displaystyle (a;b]}$, либо ${\displaystyle [a;b)}$, либо ${\displaystyle [a;+\infty )}$, либо ${\displaystyle (-\infty ;b]}$, , либо ${\displaystyle (a;+\infty )\cup \{\infty \}}$, либо ${\displaystyle (-\infty ;b)\cup \{\infty \}}$, либо ${\displaystyle (a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b]}$, либо ${\displaystyle [a;+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ;b)}$ для некоторых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$.

Иногда для таких промежутков используются обычные обозначения ${\displaystyle (a,b),[a,b],(a,b]}$, понимаемые в указанном выше смысле. То есть ${\displaystyle (a,b)=\{x|[a,x,b]\}}$, ${\displaystyle [a,b]=(a,b)\cup \{a,b\}}$, ${\displaystyle (a,b]=(a,b)\cup \{b\}}$, ${\displaystyle [a,b)=(a,b)\cup \{a\}}$, ${\displaystyle a\neq b}$. При таких обозначениях (с левой стороны равенства в определённом выше смысле, с правой — в обычном) ${\displaystyle (0,1)=(0,1)}$, ${\displaystyle (1,0)=(1,+\infty )\cup \{\infty \}\cup (-\infty ,0)}$. Запись ${\displaystyle (a,a)}$ определяется как ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}\backslash \{a\}}$.

Циклический порядок на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ определяет топологию: открытым считается множество, представимое в виде объединения интервалов (интервалы понимаются в определённом выше смысле). Данная топология представляет собой ничто иное, как объединение открытых множеств ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с окрестностями бесконечности.

ε-окрестностью ∞ называется множество ${\displaystyle \left({\frac {1}{\varepsilon }};+\infty \right)\cup \{\infty \}\cup \left(-\infty$ ;-{\frac {1}{\varepsilon }}\right)} . Любая окрестность бесконечности содержит некоторую ε-окрестность бесконечности.

Проколотой ε-окрестностью ∞ называется множество ${\displaystyle \left({\frac {1}{\varepsilon }};+\infty \right)\cup \left(-\infty$ ;-{\frac {1}{\varepsilon }}\right)} .

Без определения интервалов топологию на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ можно было бы ввести следующим образом. Определим проколотую окрестность бесконечности, как некоторое открытое множество в ${\displaystyle \mathbb {R} }$, содержащее в себе некоторую ε-окрестность бесконечности. Тогда окрестностью бесконечности назовём проколотую окрестность бесконечности с добавленной к ней бесконечностью. Тогда топология на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ это объединение топологии ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с множеством окрестностей бесконечности.

Проективно расширенная числовая прямая является компактным хаусдорфовым пространством, гомеоморфным окружности. Она является одноточечной компактификацией числовой прямой и представляет собой её компактификацию Александрова.

В ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ может быть обычным образом определён предел при стремлении аргумента к бесконечности ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)}$. Также, запись ${\displaystyle \lim _{\mathfrak {B}}f(x)=\infty }$ приобретает обычный для неё в топологии смысл.

В ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ существуют некоторые пределы, которые не существуют в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и даже в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$. Так, предел ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}}$ не существует в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, но существует в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ и равен ${\displaystyle \infty }$. В свою очередь, если предел существует в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$, то он существует и в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$. При этом если предел в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ конечен, то в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ он равен тому же значению, а если бесконечен, то равен ${\displaystyle \infty }$.

Стандартные операции в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ распространяются на ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ по непрерывности. Во многих случаях такое распространение невозможно, поэтому операции становятся частично определёнными.[1]

${\displaystyle a+\infty =\infty +a=\infty ,\quad a\neq \infty }$

${\displaystyle \infty +\infty }$ — не определено

${\displaystyle a-\infty =\infty -a=\infty ,\quad a\neq \infty }$

${\displaystyle \infty -\infty }$ — не определено

${\displaystyle a\cdot \infty =\infty \cdot a=\infty ,\quad a\neq 0}$

${\displaystyle 0\cdot \infty ,\infty \cdot 0}$ — не определено

${\displaystyle {\frac {\infty }{a}}=\infty ,\quad a\neq \infty }$

${\displaystyle {\frac {a}{\infty }}=0,\quad a\neq \infty }$

${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$ — не определено

${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty ,\quad a\neq 0}$

${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ — не определено

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ одна из немногих структур, допускающих деление на 0.

Следующие равенства означают: левые части либо обе не определены, либо равны.

${\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}}$

Следующие равенства верны, если их правая часть определена.

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a=(a+b)-b&=\,\,(a-b)+b\end{aligned}}}$

Проективно расширенная числовая прямая является проективной прямой, полученной из аффинной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ добавлением бесконечно удалённой точки. Проективные преобразования этой прямой имеют вид

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d}},&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c}},&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|\neq 0}$

Такие преобразования называются преобразованиями Мёбиуса. Их свойства во многом похожи на свойства их комплексных аналогов:[2]

• Множество преобразований Мёбиуса с операцией композиции образует группу.
• Для любых двух троек ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}\in {\widehat {\mathbb {R} }}}$, в каждой из которых точки попарно различны, существует единственное преобразование Мёбиуса, переводящее ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ в ${\displaystyle y_{1},y_{2},y_{3}}$.
• Функция является преобразованием Мёбиуса тогда и только тогда, когда она сохраняет ангармоническое отношение.
• Функция является преобразованием Мёбиуса тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде композиции отражений и инверсий

• Аффинно расширенная числовая прямая

• Cantrell D. W. Projectively Extended Real Numbers (англ.). Wolfram Math World. Weisstein E. W.. Дата обращения: 18 апреля 2021.
• Nam-Hoon Lee. Geometry: from Isometries to Special Relativity (англ.). — Springer International Publishing, 2020. — 258 p. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 9783030421014.
• Emanuello J. A., Nolder C. A. Projective Compactification of ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$ and Its Möbius Geometry (англ.) // Daniel Alpay Complex Analysis and Operator Theory : журнал. — Orange, CA USA, 2015. — 1 February (no. 9). — P. 329–354. — ISSN 1661-8262. — doi:10.1007/s11785-014-0363-5.
• Extended real numbers (англ.). nLab.
• Warwick Tucker. Validated Numerics: A Short Introduction to Rigorous Computations (англ.). — Princeton University Press, 2011. — 152 p. — ISBN 9781400838974.