Конгруэнция

Отношение ${\displaystyle \theta (x_{1},\ldots ,x_{m})}$ на множестве ${\displaystyle A}$ называется стабильным относительно ${\displaystyle n}$-арной операции ${\displaystyle f}$, определённой на этом множестве, если для любых элементов ${\displaystyle a_{i1},\ldots ,a_{im}}$ (${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$) множества ${\displaystyle A}$ из истинности отношений ${\displaystyle \theta (a_{i1},\ldots ,a_{im})}$ (${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$) вытекает истинность отношения ${\displaystyle \theta (f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}$.

Отношение ${\displaystyle \theta }$ называется конгруэнцией на алгебраической системе ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, если оно стабильно относительно каждой главной операции системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. (При таком определении понятие конгруэнции не зависит от основных отношений системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.)

Для алгебраической системы ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=(A,{\mathit {\Phi }},{\mathit {\mathrm {P} }})}$ на фактормножестве ${\displaystyle A/\theta }$ по конгруэнции ${\displaystyle \theta \subseteq A^{2}}$ для всех операций ${\displaystyle f_{i}\in {\mathit {\Phi }}}$ и отношений ${\displaystyle r_{i}\in {\mathit {\mathrm {P} }}}$ естественным образом вводятся операции и отношения над соответствующими классами смежности:

${\displaystyle f_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{n}]_{\theta })=[f_{i}(a_{1},\dots ,a_{n})]_{\theta }}$,

${\displaystyle r_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{m}]_{\theta })\Leftrightarrow \exists (b_{1}\in [a_{1}]_{\theta },\dots ,b_{m}\in [a_{m}]_{\theta })r_{i}(b_{1},\dots ,b_{m})}$.

Получающаяся система обозначается ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\theta }$ и называется факторсистемой, а отображение ${\displaystyle h_{\theta }\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}/\theta }$, определяемое правилом ${\displaystyle h_{\theta }(a)=[a]_{\theta }}$ — каноническим эпиморфизмом.

Множество всех конгруэнций данной системы ${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})}$ образует полную решётку относительно операций объединения и пересечения, а также задает отношение включения:

${\displaystyle \theta _{1}\leqslant \theta _{2}\Leftrightarrow \forall a,b\in A\,a\,\theta _{1}\,b\to a\,\theta _{2}\,b}$.

Для любого набора конгруэнций заданной алгебраической системы ${\displaystyle \{\theta _{i},i\in I\}\subseteq \mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})}$ имеет место следующий результат (теорема Ремака): факторсистема по пересечению набора конгруэнций вкладывается в прямое произведение факторсистем по каждой из конгруэнций набора:

${\displaystyle {\mathcal {A}}/\bigcap _{i\in I}{\theta _{i}}\hookrightarrow \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}/\theta _{i}}}$.

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Мальцев, А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.