Оператор замыкания

Замыкание множества ${\displaystyle X}$ в заданном топологическом пространстве состоит из тех точек пространства, любая окрестность которых имеет хотя бы одну общую точку с ${\displaystyle X}$. Функция, сопоставляющая каждому подмножеству данного пространства его замыкание, является оператором топологического замыкания (в смысле, определённом выше). И наоборот, любой оператор топологического замыкания ${\displaystyle C:2^{S}\to 2^{S}}$ задаёт топологию на множестве ${\displaystyle S}$, в которой множество ${\displaystyle X\subseteq S}$ замкнуто тогда и только тогда, когда оно является элементом булеана ${\displaystyle 2^{S}}$, замкнутым относительно оператора ${\displaystyle C}$.

Фактически, аксиоматика Куратовского — это система аксиом общей топологии, эксплуатирующая эту идею. Она выстраивает топологическую структуру, отталкиваясь от определения оператора топологического замыкания ${\displaystyle C}$ как экстенсивного идемпотентного оператора, обладающего свойством ${\displaystyle C(X\cup Y)=C(X)\cup C(Y)}$.

Аксиома монотонности для оператора топологического замыкания является излишней, так как выводится из остальных аксиом.

Финитарное замыкание играет важную роль в универсальной алгебре, где традиционно называется алгебраическим замыканием. Любое подмножество ${\displaystyle X}$ алгебры ${\displaystyle A}$ определяет некоторую подалгебру: наименьшую из всех подалгебр, содержащих данное множество. Так вводится оператор замыкания на булеане ${\displaystyle 2^{A}}$.

Возможно, наиболее известный пример такого оператора — функция, сопоставляющая набору векторов некоторого линейного пространства его линейную оболочку — подпространство, образованное данными векторами. Другой пример: функция, сопоставляющая некоторому подмножеству элементов группы порожденную ими подгруппу. Аналогичные примеры можно построить для полей, решёток и других видов алгебраических структур.

Операторы замыкания «линейная оболочка» и «наименьшее подполе, содержащее данное множество» обладают т. н. обменным свойством: если ${\displaystyle a}$ принадлежит замыканию ${\displaystyle X\cup \{b\}}$, но не принадлежит замыканию множества ${\displaystyle X}$, то ${\displaystyle b}$ принадлежит замыканию ${\displaystyle X\cup \{a\}}$. Финитарное замыкание, обладающее этим свойством, называется матроидом. Размерность векторного пространства и степень трансцендентности поля (над его простым полем) — это в точности ранг соответствующего матроида.

Функция, отображающее подмножество поля в его алгебраическое замыкание — тоже оператор финитарного замыкания, но отличающийся по своим свойствам от операторов, рассмотренных выше. Эти две разновидности замыкания изучаются в теории моделей, где они обозначаются ${\displaystyle \operatorname {dcl} }$ (от англ. definable closure) и ${\displaystyle \operatorname {acl} }$ (от англ. algebraic closure).

Выпуклая оболочка в евклидовом пространстве представляет ещё один пример финитарного замыкания. Этот оператор обладает антиобменным свойством: если ${\displaystyle a}$ не принадлежит множеству ${\displaystyle X\cup \{b\}}$, но принадлежит его замыканию, то ${\displaystyle b}$ не принадлежит замыканию ${\displaystyle X\cup \{a\}}$. Финитарные замыкания с этим свойством приводят к понятию антиматроида.

Рассмотрим некоторый логический формализм, который позволяет, следуя определённым правилам, выводить новые формулы из имеющихся. Пусть ${\displaystyle F}$ обозначает множество всех возможных формул, а ${\displaystyle P=2^{F}}$ — булеан этого множества, упорядоченный по включению. Для произвольного множества формул ${\displaystyle X}$, обозначим ${\displaystyle C(X)}$ множество формул, выводимых из ${\displaystyle X}$. Тогда ${\displaystyle C}$ — оператор замыкания, заданный на ${\displaystyle P}$.

Более строго можно определить ${\displaystyle C}$ следующим образом. Пусть ${\displaystyle J:P\to P}$ — оператор дедуктивного шага в монотонной логике; иными словами, ${\displaystyle J(X)}$ — это множество формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо принадлежит ${\displaystyle X}$, либо получена однократным применением какого-либо правила вывода к формулам из ${\displaystyle X}$. Заметим, что для любого направленного класса ${\displaystyle T}$ выполняется равенство ${\displaystyle J(\lim T)=\lim J(T)}$, следовательно, оператор ${\displaystyle J}$ непрерывен и к нему можно применить теорему о неподвижной точке. Тогда ${\displaystyle C(X)}$ определяется как наименьшая неподвижная точка ${\displaystyle J}$, большая или равная ${\displaystyle X}$. В соответствии с такой точкой зрения, Тарский[3], Браун и Сушко[4], а также другие авторы, предложили общий подход к математической логике, основанный на теории операторов замыкания. Та же идея нашла применение в логическом программировании[5] и нечёткой логике[6].

Пусть оператор замыкания ${\displaystyle C}$ действует на булеане ${\displaystyle P=2^{S}}$. Семейство замкнутых подмножеств ${\displaystyle C(P)}$ образует подмножество в ${\displaystyle P}$. Любое пересечение множеств из ${\displaystyle C(P)}$ снова лежит в ${\displaystyle C(P)}$, то есть ${\displaystyle C(P)}$ — полная нижняя подполурешётка в ${\displaystyle P}$. Соответственно, если некоторое множество ${\displaystyle K\subseteq 2^{S}}$ замкнуто относительно произвольных (возможно, бесконечных) пересечений, то функция, сопоставляющая каждому подмножеству ${\displaystyle X\subseteq S}$ наименьшее множество ${\displaystyle Y\in K}$, содержащее ${\displaystyle X}$, является оператором замыкания.

Оператор замыкания называется топологическим, если семейство замкнутых множеств замкнуто относительно конечных объединений, то есть если ${\displaystyle C(P)}$ образует подрешётку, полную относительно операции объединения. Даже если оператор ${\displaystyle C}$ не является топологическим, множество ${\displaystyle C(P)}$ всё равно обладает структурой решётки (с операциями ${\displaystyle \wedge }$ и ${\displaystyle \vee }$, определёнными так: ${\displaystyle X\wedge Y=X\cap Y}$, ${\displaystyle X\vee Y=C(X\cup Y)}$); но в этом случае ${\displaystyle C(P)}$ не является подрешёткой ${\displaystyle P}$, так как операции на них не согласованы.

Если оператор замыкания финитарный, замыканиями конечных множеств являются компактные элементы множества ${\displaystyle C(P)}$. Следовательно, ${\displaystyle C(P)}$ — алгебраическое множество (или «алгебраическая решётка», если учитывать, что на ${\displaystyle C(P)}$ действительно имеется структура решётки). И наоборот, если семейство замкнутых множеств является алгебраическим частично-упорядоченным множеством, то соответствующий оператор замыкания финитарный.

Замыкания можно рассматривать не только на булеане, но и на любом частично упорядоченном множестве. Кроме приведённого выше определения оператора замыкания как экстенсивной монотонной идемпотентной функции, существует также ряд альтернативных определений. Например, три указанных аксиомы можно заменить одной:

${\displaystyle x\leq C(y)\Leftrightarrow C(x)\leq C(y)}$ для любых ${\displaystyle x,y\in P}$.

Если считать, что между отображениями определено поточечное сравнение, то свойство экстенсивности оператора ${\displaystyle C:P\to P}$ можно кратко записать так:

${\displaystyle C\geq \operatorname {id} }$, где ${\displaystyle \operatorname {id} }$ обозначает тождественную функцию.

Монотонное идемпотентное отображение ${\displaystyle I:P\to P}$, обладающее двойственным свойством ${\displaystyle I\leq \operatorname {id} }$, называется оператором ядра (англ. kernel operator[7]), оператором внутренности (англ. interior operator[8]) или двойственным замыканием (англ. dual closure[9]). Пример такой функции — операция получения внутренности множества в топологии. Другой пример даёт функция округления, рассматриваемая как оператор на вещественных числах с естественным порядком: округление к меньшему (англ. floor, ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$) — это оператор внутренности, а округление к большему (англ. ceil, ${\displaystyle \lceil x\rceil }$) — оператор замыкания. Ещё один пример: если ${\displaystyle S}$ — некоторое множество, и в нём зафиксировано произвольное подмножество ${\displaystyle T}$, то ${\displaystyle \mu _{T}(X)=T\cap X}$ является оператором внутренности на булеане ${\displaystyle P=2^{S}}$, а ${\displaystyle \lambda _{T}(X)=T\cup X}$ — оператором замыкания.

Неподвижная точка отображения ${\displaystyle C}$, то есть элемент ${\displaystyle c\in P}$, обладающий свойством ${\displaystyle C(c)=c}$, называется замкнутым. Оператор замыкания на частично упорядоченном множестве полностью определяется множеством замкнутых элементов. Если элемент ${\displaystyle c}$ замкнут, то утверждение ${\displaystyle x\leq c}$ равносильно ${\displaystyle C(x)\leq c}$.

Как объясняется в статье, посвящённой соответствию Галуа, всякое такое соответствие порождает оператор замыкания. Более того, любой оператор замыкания можно получить из некоторого соответствия Галуа[10]. Построить подходящее соответствие Галуа можно не единственным образом; универсальный способ состоит в следующем. Пусть ${\displaystyle K}$ обозначает множество замкнутых элементов. Тогда ${\displaystyle C}$ можно рассматривать как отображение ${\displaystyle P\to K}$; это будет нижняя сопряжённая функция соответствия Галуа. В качестве верхней сопряжённой функции возьмём вложение ${\displaystyle K\to P}$. Фактически, любая функция, являющаяся нижней сопряженной к вложению некоторого подмножества в ${\displaystyle P}$, и есть замыкание: «Операторы замыкания суть нижние сопряженные к вложениям.» Однако не для каждого вложения существует нижняя сопряженная функция!

Всякое частично упорядоченное множество ${\displaystyle P}$ можно рассматривать как категорию, в которой стрелка ${\displaystyle x\to y}$ существует (и единственна) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x\leq y}$. В такой интерпретации операторы замыкания соответствуют монадам

Если ${\displaystyle P}$ — полная решётка, то для того, чтобы подмножество ${\displaystyle K\subseteq P}$ было множеством замкнутых элементов какого-либо оператора ${\displaystyle C}$, необходимо и достаточно[11], чтобы ${\displaystyle K}$ образовывало муровское семейство на ${\displaystyle P}$, то есть множество, содержащее верхнюю границу ${\displaystyle P}$ и точную нижнюю грань любого подмножества множества ${\displaystyle K}$. Любое такое ${\displaystyle K}$ само является полной решёткой, причём отношение порядка и нижняя операция (инфимум) наследуются из ${\displaystyle P}$, а верхняя операция (супремум) может отличаться. Когда решётка ${\displaystyle P}$ введена как булева алгебра подмножеств некоторого множества ${\displaystyle S}$, муровское семейство называют системой замыканий[12] (англ. closure system) множества ${\displaystyle S}$.

Операторы замыкания на полной решётке сами образуют полную решётку, отношение порядка на которой вводится поточечно: ${\displaystyle C_{1}\leq C_{2}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \forall x\in P\;C_{1}(x)\leq C_{2}(x)}$.

Понятие замыкания было введено Э. Г. Муром в монографии 1910 года Introduction to a Form of General Analysis. Концепция системы замкнутых подмножеств впервые была описана в работах Ф. Риса применительно к топологическим пространствам[2].

• Замыкание (геометрия) и Внутренность
• Замыкание отношения
• Соответствие Галуа

• Birkhoff, G. Lattice Theory. — 3rd ed. — Providence, RI : American Mathematical Society, 1973. — vi, 418 p. — (American Mathematical Society Colloquium Publications ; vol. XXV). — ISBN 0-8218-1025-1. — .
  [Русский перевод: Биркгоф, Г. Теория решеток. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 568 с. — 9400 экз.]
• Blyth, T. S. Lattices and Ordered Algebraic Structures. — London : Springer-Verlag, 2005. — ix, 303 p. — (Universitext). — ISBN 1-85233-905-5. — doi:10.1007/B139095. — .
• Brown, D. J. Abstract Logics / D. J. Brown, R. Suszko // Dissertationes Mathematicae. — 1973. — Vol. CII. — P. 9–41. — ISSN 0012-3862.
• Burris, S. A Course in Universal Algebra / S. Burris, H. P. Sankappanavar. — New York, NY : Springer-Verlag, 1981. — xvi, 276 p. — (Graduated Texts in Mathematics ; vol. 78). — ISBN 0-387-90578-2. — .
  [Бесплатное электронное издание: Burris, S. A Course in Universal Algebra / S. Burris, H. P. Sankappanavar. — The Millenium Edition, 2012 Update. — 2012. — xiv, 276 p. : 36 illus. — ISBN 978-0-9880552-0-9.]
• Castellini, G. Categorical Closure Operators : [арх. 30 декабря 2015]. — Boston, MA : Birkhäuser, 2003. — xii, 300 p. — (Mathematics: Theory & Applications). — ISBN 978-1-4612-6504-7. — doi:10.1007/978-0-8176-8234-7.
• Edelman, P. H. Meet-distributive Lattices and the Anti-exchange Closure // Algebra Universalis. — 1980. — Vol. 10, no. 1. — P. 290–299. — ISSN 0002-5240. — doi:10.1007/BF02482912.
• Erné, M. A primer on Galois connections / M. Erné, J. Koslowski, A. Melton … [et al.] // Annals of the New York Academy of Sciences. — 1993. — Vol. 704 : Papers on General Topology and Applications. — P. 103–125. — ISSN 0077-8923. — doi:10.1111/j.1749-6632.1993.tb52513.x.
  [Электронные препринты:
  • Erné, M., et al. A primer on Galois connections : [PS.GZ] / prep. by J. Koslowski // Jürgen Koslowski's Home Page. — 1991/92.
  • Erné, M., et al. A primer on Galois connections : non-RPN version : [PS.GZ] / prep. by J. Koslowski // Jürgen Koslowski's Home Page. — 1991/92.
  • Erné, M., et al. A primer on Galois connections : [PS] / prep. by G. E. Strecker // George E. Strecker (Home Page).]
• Gerla, G. Fuzzy Logic : Mathematical Tools for Approximate Reasoning. — Dordrecht : Kluwer Academic Publishers, 2001. — xii, 269 p. — (Trends in Logic ; vol. 11). — ISBN 0-7923-6941-6. — doi:10.1007/978-94-015-9660-2.
• Gierz, G. Continuous Lattices and Domains / G. Gierz, K. H. Hoffman, K. Keimel … [et al.]. — New York, NY : Cambridge University Press, 2003. — xxxvi, 591 p. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications ; vol. 93). — ISBN 0-521-80338-1.
• Lloyd, J. W. Foundations of Logic Programming. — 2nd ext. ed. — Berlin : Springer-Verlag, 1987. — xii, 212 p. — (Artificial Intelligence. Ser. Symbolic Computation). — ISBN 3-540-18199-7. — ISBN 978-3-642-83191-1. — doi:10.1007/978-3-642-83189-8.
• Tarski, A. Fundamental Concepts of the Methodology of Deductive Sciences = Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven Wissenschaften : [orig. 1930] // Logic, Semantics, Metamathematics. Papers from 1923 to 1938 by Alfred Tarski / transl. by J. H. Woodger. — Oxford : Clarendon Press, 1956. — P. 60–109. — .
• Ward, M. The Closure Operators of a Lattice // Annals of Mathematics. — 1942. — Vol. 43, no. 2. — P. 191–196. — ISSN 0003-486X. — doi:10.2307/1968865. — .

• Jansara, Ramon. Algebraic Propositional Logic / Edward N. Zalta (ed.) // Stanford Encyclopedia of Philosophy. — Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2016. — 12 December.