Булеан

Булеан (степень множества, показательное множество, множество частей) — множество всех подмножеств данного множества $A$ (включая нулевое и само множество А), обозначается ${\mathcal {P}}(A)$ или $2^{A}$ (так как оно соответствует множеству отображений из $A$ в $\{0,1\}$ ).

Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Обратное утверждение (то есть инъективность операции $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$ для кардиналов) является независимым от ZFC.

В категории множеств можно снабдить функцию ${\mathcal {P}}$ структурой ковариантного или контравариантного функтора следующим образом:

ковариантный функтор отображает функцию $f\colon A\to B$ в функцию ${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}B$ такую, что она отображает $X$ в образ $X$ относительно $f$ ;
контравариантный функтор отображает функцию $f\colon A\to B$ в ${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}B\to {\mathcal {P}}A$ такую, что она отображает $X$ в полный прообраз $X$ относительно $f$ .

Открытая математическая проблема: cуществуют ли такие бесконечные множества $A$ и $B$ , что мощность множества $A$ меньше мощности множества $B$ и мощность множества $B$ меньше мощности множества всех подмножеств множества $A$ : $|A|<|B|<|2^{A}|$ ?[1]

Мощность конечного булеана

Справедливо следующее утверждение: число подмножеств конечного множества, состоящего из $n$ элементов, равно $2^{n}$ . Результат доказывается методом математической индукции. В базе, у пустого множества $\varnothing$ ( $n=0$ ) только одно подмножество — оно само, и $2^{0}=1$ . На шаге индукции утверждение считается установленным для множеств мощности $n$ и рассматривается произвольное множество $M$ с кардинальным числом $n+1$ ; зафиксировав некоторый элемент $a_{0}\in M$ , подмножества множества $M$ разделяются на два семейства:

$M_{1}$ , содержащие $a_{0}$ ,
$M_{2}$ , не содержащие $a_{0}$ , то есть являющиеся подмножествами множества $M\setminus \{a_{0}\}$ .

Подмножеств второго типа по предположению индукции $2^{n}$ , подмножеств первого типа ровно столько же, так как подмножество такого типа получается из некоторого и притом единственного подмножества второго типа добавлением элемента $a_{0}$ и, следовательно:

2^{M}=M_{1}\bigcup M_{2}

и

M_{1}\bigcap M_{2}=\varnothing

.

По индукционному предположению $\left|M_{1}\right|=2^{n}$ и $\left|M_{2}\right|=2^{n}$ , то есть:

\left|2^{M}\right|=\left|M_{1}\right|+\left|M_{2}\right|=2^{n}+2^{n}=2^{n+1}=2^{\left|M\right|}

.

См. также

Примечания

Брудно, 1971, с. 34.

Литература

Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_46c665f65fc6a745-1] Брудно, 1971, с. 34.