Континуум-гипотеза
Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет. В частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.
Континуум-гипотеза | |
---|---|
Названо в честь | континуум |
Первооткрыватель или изобретатель | Георг Кантор |
Дата открытия | 1877 |
Описывающая закон или теорему формула | |
Кем решена | Курт Гёдель и Пол Коэн |
Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора, так и без неё).
Континуум-гипотеза однозначно доказывается в системе Цермело — Френкеля с аксиомой детерминированности (ZF+AD).
История
Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.
В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC[1]. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причём оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.
В предположении отрицания континуум-гипотезы имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов может выполняться равенство ? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона.
Эквивалентные формулировки
Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:
- Прямая может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел не выполняется условие [2].
- Плоскость может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой)[3].
- Пространство можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям , и , соответственно, лишь в конечном числе точек (каждому множеству соответствует своя ось)[4].
- Пространство можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка , что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через , лишь в конечном числе точек[5].
Вариации и обобщения
Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала выполняется равенство или, другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество , найдётся подмножество, равномощное булеану [6].
Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.
См. также
Примечания
- Пол Дж. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969. — С. 347.
- Stephen Fenner, William Gasar. Statement in Combinatorics that is Independent of ZFC (An Exposition) (англ.)
- Вацлав Серпинский. Cardinal And Ordinal Numbers. — Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1965. (англ.)
- Вацлав Серпинский. О теории множеств. — М.: Просвещение, 1966.
- http://www.math.wisc.edu/~miller/old/m873-05/setplane.ps
- Континуума проблема / А. Г. Драгалин // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Литература
- Катин Ю. Е. Из истории проблемы континуума // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1970. — Вып. 9. — С. 248—261.
- Манин Ю. И. Проблема континуума // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.