Восьмая проблема Гильберта

Гипотеза Римана и утверждает, что все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную ${\displaystyle {1 \over 2}}$. Многие утверждения о распределении простых чисел доказаны в предположении справедливости гипотезы Римана. В настоящее время (2021 год) она не доказана и входит в список семи проблем тысячелетия.

Проблема Гольдбаха состоит из двух гипотез.

Бинарная гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое чётное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Более слабая тернарная гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётное число, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.

Из справедливости бинарной гипотезы вытекает справедливость тернарной гипотезы Гольдбаха, но в настоящее время бинарная гипотеза Гольдбаха не доказана. Виноградов в 1937 году доказал, что почти все чётные числа представимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, если они есть, стремится к нулю при росте длины рассматриваемого отрезка). Из справедливости доказанной тернарной гипотезы Гольдбаха вытекает, что любое чётное число — сумма не более чем 4 простых чисел.

Виноградов в 1937 году доказал справедливость тернарной гипотезы Гольдбаха для всех чисел, больших некоторой константы[3]. Однако нижняя граница оказалось настолько большой, что проверить остальные числа с помощью компьютера в XX веке не удалось. Для всех чисел теорема была доказана только в 2013 году Харальдом Гельфготтом[4]

• Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — 240 с. — 10 700 экз. Архивная копия от 17 октября 2011 на Wayback Machine