Четырнадцатая проблема Гильберта

14. Доказательство конечности некоторой полной системы функций.

<...> Мауреру недавно удалось распространить доказанные Жорданом и мною теоремы конечности в теории инвариантов на случай, когда инварианты определяются не общей проективной группой, как в обыкновенной теории инвариантов, а произвольной её подгруппой. <...>

Пусть дано некоторое число m целых рациональных функций ${\displaystyle X_{1},...,X_{m}}$ от переменных ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{c}X_{1}=f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\X_{2}=f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\X_{m}=f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{array}}\right\}\qquad \qquad (S)}$

Всякая целая рациональная связь между ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$, если в неё внесены эти их значения, очевидно, тоже представляет целую рациональную функцию от ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$. Вполне, однако, могут существовать дробные рациональные функции от ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$, которые после подстановки (S) приведут к целым функциям от ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$. Каждую такую функцию <...> я буду называть относительно целой функцией от ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$. <...> Проблема, таким образом, выражается в следующем: установить, всегда ли возможно найти такую конечную систему относительно целых функций от ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{m}}$, через которую любая другая относительно целая функция выражается целым и рациональным образом. <...>[5]

Иными словами, это вопрос о конечной порождённости алгебры ${\displaystyle K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$, где ${\displaystyle K}$ — порождённое ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ поле. Поскольку всякое промежуточное поле ${\displaystyle k\subset K\subset k(x_{1},\dots ,x_{n})}$ является конечно-порожденым как расширение k, в итоге на современном языке исходная формулировка Гильберта звучит следующим образом:

Пусть ${\displaystyle K\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ — некоторое поле, содержащее основное поле k. Правда ли, что алгебра ${\displaystyle K\bigcap k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ конечно порождена?[1]