Иерархия алефов

${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф-ноль) — это мощность множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} ,}$ первый бесконечный кардинал. Множество всех конечных ординалов обозначается строчной греческой буквой ${\displaystyle \omega }$ (омега), или ${\displaystyle \omega _{0};}$ оно имеет мощность ${\displaystyle \aleph _{0}.}$

Множество имеет мощность ${\displaystyle \aleph _{0}}$ тогда и только тогда, когда оно счётно, то есть существует взаимно-однозначное соответствие между ним и множеством натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$. Примеры множеств мощности ${\displaystyle \aleph _{0}}$:

• множество всех квадратных чисел, множество всех кубических чисел;
• множество всех чётных чисел, множество всех нечётных чисел;
• множество всех простых чисел, множество всех составных чисел;
• множество всех целых чисел;
• множество всех рациональных чисел;
• совокупность всех геометрических величин, которые можно построить циркулем и линейкой;
• множество всех алгебраических чисел,
• множество всех вычислимых чисел,
• множество всех определимых чисел;
• множество всех двоичных строк конечной длины;
• множество всех конечных подмножеств заданного счётного множества.

Бесконечные ординалы:

${\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega \cdot 2,\omega ^{2},\omega ^{\omega }}$

все относятся к счётным множествам[4]. Например, следующая последовательность (с ординалом ω·2), содержащая сначала все положительные нечётные числа, а за ними все положительные чётные числа:

{1, 3, 5, 7, 9, ..., 2, 4, 6, 8, 10, ...}

описывает некоторый порядок на множестве целых положительных чисел мощности ${\displaystyle \aleph _{0}}$.

Если выполняется аксиома выбора или, по крайней мере, аксиома счетного выбора (более слабая), то ${\displaystyle \aleph _{0}}$ меньше, чем любой другой бесконечный кардинал.

${\displaystyle \aleph _{1}}$ (алеф-один) — это мощность множества всех счётных порядковых чисел, которое обозначается ${\displaystyle \omega _{1}}$ (иногда ${\displaystyle \Omega _{1}}$). Ординал ${\displaystyle \omega _{1}}$ больше, чем все счётные ординалы, и соответствует несчётным множествам. Следовательно, ${\displaystyle \aleph _{1}}$ не совпадает с ${\displaystyle \aleph _{0}}$ и больше его.

Если принята аксиоматика Цермело — Френкеля (даже без аксиомы выбора), то между ${\displaystyle \aleph _{0}}$ и ${\displaystyle \aleph _{1}}$ нет никаких других кардинальных чисел. С помощью аксиомы выбора мы можем показать одно из самых полезных свойств множества ${\displaystyle \omega _{1}}$: любое счётное подмножество ${\displaystyle \omega _{1}}$ имеет верхнюю границу в ${\displaystyle \omega _{1}}$ (это следует из того, что счётное объединение счётных множеств счётно). Этот факт аналогичен ситуации в ${\displaystyle \aleph _{0}}$: каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимальный элемент, который также является натуральным числом, и конечное объединение конечных множеств конечно.

Если принять континуум-гипотезу, то ${\displaystyle \aleph _{1}}$ совпадает с мощностью поля вещественных чисел (континуум). Если же континуум-гипотеза неверна, то континуум соответствует одному из более далёких алефов.