Нечёткая логика

Символическая нечёткая логика основывается на понятии t-нормы. После выбора некоторой t-нормы (а её можно ввести несколькими разными способами) появляется возможность определить основные операции над пропозициональными переменными: конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, отрицание и другие.

Нетрудно доказать теорему о том, что дистрибутивность, присутствующая в классической логике, выполняется только в случае, когда в качестве t-нормы выбирается t-норма Гёделя^{[уточнить]}.

Кроме того, в силу определённых причин, в качестве импликации чаще всего выбирают операцию, называемую residium (она, вообще говоря, также зависит от выбора t-нормы).

Определение основных операций, перечисленных выше, приводит к формальному определению базисной нечёткой логики, которая имеет много общего с классической булевозначной логикой (точнее, с исчислением высказываний).

Существуют три основных базисных нечётких логики: логика Лукасевича, логика Гёделя и вероятностная логика (англ. product logic). Интересно, что объединение любых двух из трёх перечисленных выше логик приводит к классической булевозначной логике.

Функция нечёткой логики Заде всегда принимает значение одного из своих аргументов либо его отрицания. Таким образом, функцию нечёткой логики можно задать таблицей выбора[2], в которой перечислены все варианты упорядочения аргументов и отрицаний, и для каждого варианта указано значение функции. Например, строка таблицы функции двух аргументов может иметь следующий вид:

${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}\leq {\bar {x}}_{2}\leq {\bar {x}}_{1}:x_{2}}$.

Однако произвольная таблица выбора не всегда задаёт функцию нечёткой логики. В работе[3] был сформулирован критерий, позволяющий установить является ли функция, заданная таблицей выбора, функцией нечёткой логики и предложен простой алгоритм синтеза, основанный на введённых концепциях конституент минимума и максимума. Функция нечёткой логики представляет собой дизъюнкцию конституент минимума, где конституента максимума — это конъюнкция переменных текущей области больших либо равных значению функции в этой области (справа от значения функции в неравенстве, включая значение функции). Например, для указанной строки таблицы конституента минимума имеет вид ${\displaystyle x_{2}{\bar {x}}_{2}{\bar {x}}_{1}}$.

Основное понятие нечёткой логики в широком смысле — нечёткое множество, определяемое при помощи обобщённого понятия характеристической функции. Затем вводятся понятия объединения, пересечения и дополнения множеств (через характеристическую функцию; задать можно различными способами), понятие нечёткого отношения, а также одно из важнейших понятий — понятие лингвистической переменной.

Вообще говоря, даже такой минимальный набор определений позволяет использовать нечёткую логику в некоторых приложениях, для большинства же необходимо задать ещё и правило вывода (и оператор импликации).

Поскольку нечёткие множества описываются функциями принадлежности, а t-нормы и k-нормы обычными математическими операциями, можно представить нечёткие логические рассуждения в виде нейронной сети. Для этого функции принадлежности надо интерпретировать как функции активации нейронов, передачу сигналов как связи, а логические t-нормы и k-нормы, как специальные виды нейронов, выполняющие математические соответствующие операции. Существует большое разнообразие подобных нейро-нечётких сетей (neuro-fuzzy network (англ.)) . Например, ANFIS (Adaptive Neuro fuzzy Inference System) — адаптивная нейро-нечеткая система вывода.[4] (англ.)

Она может быть описана в универсальной форме аппроксиматоров как

${\displaystyle y(x)=\sum _{i=1}^{N}\phi _{i}(x)*\theta _{i}}$,

кроме того, этой формулой могут быть описаны также некоторые виды нейронных сетей, такие как радиально базисные сети (RBF), многослойные персептроны (MLP), а также вейвлеты и сплайны.

Нечёткое множество, содержащее число 5, можно задать, например, такой характеристической функцией: ${\displaystyle \mu _{A}\left(x\right)=\left(1+\left|x-5\right|^{n}\right)^{-1}}$

В обозначениях, принятых для лингвистической переменной:

• X = «Температура в комнате»
• U = [5, 35]
• T = {«холодно», «тепло», «жарко»}

Характеристические функции:

• ${\displaystyle \mu _{cold}\left(u\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {u-10}{7}}\right)^{12}}}}$
• ${\displaystyle \mu _{ok}\left(u\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {u-20}{3}}\right)^{6}}}}$
• ${\displaystyle \mu _{hot}\left(u\right)={\frac {1}{1+\left({\frac {u-30}{6}}\right)^{10}}}}$

Правило G порождает новые термы с использованием союзов «и», «или», «не», «очень», «более или менее».

• не A: ${\displaystyle 1-\mu _{A}\left(u\right)}$
• очень A: ${\displaystyle \left(\mu _{A}\left(u\right)\right)^{2}}$
• более или менее A: ${\displaystyle {\sqrt {\mu _{A}\left(u\right)}}}$
• A или B: ${\displaystyle \max \left(\mu _{A}\left(x\right),\mu _{B}\left(x\right)\right)}$
• A и B: ${\displaystyle \min \left(\mu _{A}\left(x\right),\mu _{B}\left(x\right)\right)}$

Нечёткая логика — набор нестрогих правил, в которых для достижения поставленной цели могут использоваться радикальные идеи, интуитивные догадки, а также опыт специалистов, накопленный в соответствующей области. Нечёткой логике свойственно отсутствие строгих стандартов. Чаще всего она применяется в экспертных системах, нейронных сетях и системах искусственного интеллекта. Вместо традиционных значений Истина и Ложь в нечёткой логике используется более широкий диапазон значений, среди которых Истина, Ложь, Возможно, Иногда, Не помню (Как бы Да, Почему бы и Нет, Ещё не решил, Не скажу…). Нечёткая логика просто незаменима в тех случаях, когда на поставленный вопрос нет чёткого ответа (да или нет; «0» или «1») или наперёд неизвестны все возможные ситуации. Например, в нечёткой логике высказывание вида «X есть большое число» интерпретируется как имеющее неточное значение, характеризуемое некоторым нечётким множеством. «Искусственный интеллект и нейронные сети — это попытка смоделировать на компьютере поведение человека. А так как люди редко видят окружающий мир лишь в чёрно-белом цвете, возникает необходимость в использовании нечёткой логики».[5]