Линейная логика

Линейная логика (англ. Linear Logic — это подструктурная логика, предложенная Жан-Ивом Жираром (англ. Jean-Yves Girard) как уточнение классической и интуиционистской логики, объединяющая двойственность первой со многими конструктивными свойствами последней[1], введена и используется для логических рассуждений, учитывающих расход некоторого ресурса[2]. Хотя логика также изучалась сама по себе, идеи линейной логики находят применения во множестве приложений, вычисления в которых требуют учёта ресурсов, в том числе для верификации сетевых протоколов, языки программирования, теория игр (игровая семантика)[2] и квантовая физика (поскольку линейную логику можно рассматривать как логику квантовой теории информации)[3], лингвистика[4].

Описание

Синтаксис

Язык классической линейной логики (англ. classic linear logic, CLL) может быть описан в форме Бэкуса — Наура:

A ::= p ∣ p^⊥ | A ⊗ A ∣ A ⊕ A | A & A ∣ A ⅋ A | 1 ∣ 0 ∣ ⊤ ∣ ⊥ | !A ∣ ?A

Где

p и p^⊥ — атомарные формулы,

логические связки и константы:

Символ	Значение
⊗	мультипликативная конъюнкция («тензор», англ. "tensor")
⊕	аддитивная дизъюнкция
&	аддитивная конъюнкция
⅋	мультипликативная дизъюнкция («пар», англ. "par")
!	модальность «конечно» (англ. "of course")
?	модальность «почему нет» (англ. "why not")
1	единица для ⊗
0	нуль для ⊕
⊤	нуль для &
⊥	единица для ⅋

Бинарные связки ⊗, ⊕, & и ⅋ ассоциативны и коммутативны.

Каждое утверждение A в классической линейной логике имеет двойственное A^⊥, определяемое следующим образом:

(`p`)^⊥ = `p`^⊥			(`p`^⊥)^⊥ = `p`
(`A` ⊗ `B`)^⊥ = `A`^⊥ ⅋ `B`^⊥			(`A` ⅋ `B`)^⊥ = `A`^⊥ ⊗ `B`^⊥
(`A` ⊕ `B`)^⊥ = `A`^⊥ & `B`^⊥			(`A` & `B`)^⊥ = `A`^⊥ ⊕ `B`^⊥
(1)^⊥ = ⊥			(⊥)^⊥ = 1
(0)^⊥ = ⊤			(⊤)^⊥ = 0
(!`A`)^⊥ = ?(`A`^⊥)			(?`A`)^⊥ = !(`A`^⊥)

Содержательное толкование

В линейной логике (в отличие от классической) посылки часто рассматриваются как расходуемые ресурсы, поэтому выведенная или начальная формула может быть ограничена по числу использований.

Мультипликативная конъюнкция ⊗ аналогична операции сложения мультимножеств и может выражать объединение ресурсов.

Следует отметить, что (.)^⊥ является инволюцией, то есть, A^⊥⊥ = A для всех утверждений. A^⊥ также называется линейным отрицанием A.

Линейная импликация играет большую роль в линейной логике, хотя она и не включена в грамматику связок. Может быть выражена через линейное отрицание и мультипликативную дизъюнкцию

A ⊸ B := A^⊥ ⅋ B.

Связку ⊸ иногда называют «леденец на палочке» (англ. lollipop) из-за характерной формы.

Линейную импликацию можно использовать в выводе при наличии ресурсов в ее левой части, а в результате получаются ресурсы из правой линейной импликации. Данное преобразование задает линейную функцию, что и дало начало термину «Линейная логика»[5].

Модальность «конечно» (!) позволяет обозначить ресурс как неисчерпаемый.

Пример. Пусть D обозначает доллар, а C — плитку шоколада. Тогда покупку плитки шоколада можно обозначить как D ⊸ C. Покупку можно выразить следующим выводом: D⊗ !(D ⊸ C) ⊢ C⊗!(D ⊸ C), то есть, что доллар и возможность купить на него шоколадку приводят к шоколадке, а возможность купить шоколадку сохраняется[5].

В отличие от классической и интуиционистской логик, линейная логика имеет два вида конъюнкций, что позволяет выражать ограниченность ресурсов. Добавим к предыдущему примеру возможность покупки леденца L. Выразить возможность покупки шоколадки или леденца можно выразить с помощью аддитивной конъюнкции[6]:

D ⊸ L & C

Разумеется, выбрать можно только что-то одно. Мультипликативная конъюнкция обозначает присутствие обоих ресурсов. Так, на два доллара можно купить и шоколадку, и леденец:

D ⊗ D ⊸ L ⊗ C

Мультипликативная дизъюнкция A ⅋ B может пониматься как «если не А, так B», а выражаемая через неё линейная импликация A ⊸ B в таком случае имеет смысл «может ли B быть выведена из A ровно один раз?»[6]

Аддитивная дизъюнкция A ⊕ B обозначает возможность как A, так и B, но выбор не за вами[6]. Например, беспроигрышную лотерую, где можно выиграть леденец или шоколадку, можно выразить с помощью аддитивной дизъюнкции:

D ⊸ L ⊕ C

Фрагменты

Помимо полной линейной логики находят применение её фрагменты[7]:

LL: разрешены все связки
MLL: только мультипликативы (⊗, ⅋)
MALL: только мультипликативы и аддитивы (⊗, ⅋, ⊕, &)
MELL: только мультипликативы и экспоненциалы (⊗, ⅋, !, ?)

Разумеется, этим списком не исчерпываются все возможные фрагменты. Например, возможны различные Хорн-фрагменты, которые используют линейную импликацию (по аналогии с хорновскими дизъюнктами) в сочетаниях с различными связками.[8]

Фрагменты логики интересуют исследователей с точки зрения сложности их вычислительной интерпретации. В частности, М. И. Канович доказал, что полный MLL-фрагмент является NP-полным, а ⊕-хорновский фрагмент линейной логики с правилом ослабления (англ. weakening rule) PSPACE-полон. Это можно проинтерпретировать как то, что управление использованием ресурсов — трудная задача даже в простейших случаях.[8]

Представление в виде исчисления секвенций

Один из способов определения линейной логики — это исчисление секвенций. Буквы Γ и ∆ обозначают списки предложений $A_{1},...,A_{n}$ , и называются контекстами. В секвенции контекст помещается слева и справа от ⊢ («следует»), например: $\Gamma \vdash \Delta$ . Ниже приведено исчисление секвенций для MLL в двустороннем формате[7].

Структурное правило — перестановка. Задано соответственно левое и правое правила вывода:

${\cfrac {\Gamma ,A,B,\Gamma '\vdash \Delta }{\Gamma ,B,A,\Gamma '\vdash \Delta }}\;{\text{exL}}\qquad {\cfrac {\Gamma \vdash \Delta ,A,B,\Delta '}{\Gamma \vdash \Delta ,B,A,\Delta '}}\;{\text{exR}}$

Тождество и сечение:

${\cfrac {\cdot }{A\vdash A}}\;{\text{I}}\qquad {\cfrac {\Gamma \vdash \Sigma ,A,\Delta \qquad \Gamma ',A,\Sigma '\vdash \Delta '}{\Gamma ,\Gamma ',\Sigma '\vdash \Sigma ,\Delta ,\Delta '}}\;{\text{Cut}}$

Мультипликативная конъюнкция:

${\cfrac {\Gamma ,A,B\vdash \Delta }{\Gamma ,A\otimes B\vdash \Delta }}\;\otimes {\text{L}}\qquad {\cfrac {\Gamma \vdash A,\Delta \qquad \Gamma '\vdash B,\Delta '}{\Gamma ,\Gamma '\vdash A\otimes B,\Delta ,\Delta '}}\;\otimes {\text{R}}$

Мультипликативная дизъюнкция:

${\cfrac {\Gamma ,A\vdash \Delta \qquad \Gamma ',B\vdash \Delta '}{\Gamma ,\Gamma ',A{\text{⅋}}B\vdash \Delta ,\Delta '}}\;{\text{⅋L}}\qquad {\cfrac {\Gamma \vdash A,B,\Delta }{\Gamma \vdash A{\text{⅋}}B,\Delta }}\;{\text{⅋R}}$

Отрицание:

${\cfrac {\Gamma \vdash A,\Delta }{\Gamma ,A^{\bot }\vdash \Delta }}\;\bot {\text{L}}\qquad {\cfrac {\Gamma ,A\vdash \Delta }{\Gamma \vdash A^{\bot },\Delta }}\;\bot {\text{R}}$

Аналогичные правила можно определить для полной линейной логики, её аддитивов и экспоненциалов. Обратите внимание, что в линейную логику не добавлены структурные правила ослабления и сокращения, так как в общем случае утверждения (и их копии) не могут произвольно появляться и исчезать в секвенциях, как это принято в классической логике.

Примечания

Girard, Jean-Yves (1987). “Linear logic” (PDF). Theoretical Computer Science. 50 (1): 1—102. DOI:10.1016/0304-3975(87)90045-4. HDL:10338.dmlcz/120513.
Алгоритмические вопросы алгебры и логики /КАРТОЧКА ПРОЕКТА, ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ. Дата обращения:18.07.2021
Baez, John; Stay, Mike (2008). Bob Coecke, ed. “Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone” (PDF). New Structures of Physics.
de Paiva, V. Dagstuhl Seminar 99341 on Linear Logic and Applications / V. de Paiva, J. van Genabith, E. Ritter. — 1999.
Ломазова, 2004.
Lincoln, 1992.
Beffara, 2013.
Max I. Kanovich. The complexity of Horn fragments of Linear Logic. Annals of Pure and Applied Logic 69 (1994) 195—241

Литература

Ломазова И. А. 6.5. Вложенные сети Петри и Линейная логика // Вложенные сети Петри: моделирование анализ распределенных систем с объектной структурой. — М.: Научный мир, 2004. — С. 175—185. — 208 с. — ISBN 5-89176-247-1.
Patrick Lincoln. Linear logic // ACM SIGACT News. — 1992. — Т. 23, № 2 (май).
Emmanuel Beffara. Introduction to linear logic (неопр.) (2013).

Ссылки

Linear Logic, Stanford Encyclopedia of Philosophy

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Girard, Jean-Yves (1987). “Linear logic” (PDF). Theoretical Computer Science. 50 (1): 1—102. DOI:10.1016/0304-3975(87)90045-4. HDL:10338.dmlcz/120513.

[rscf-project16-11-10252-2] Алгоритмические вопросы алгебры и логики /КАРТОЧКА ПРОЕКТА, ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ. Дата обращения:18.07.2021

[3] Baez, John; Stay, Mike (2008). Bob Coecke, ed. “Physics, Topology, Logic and Computation: A Rosetta Stone” (PDF). New Structures of Physics.

[4] de Paiva, V. Dagstuhl Seminar 99341 on Linear Logic and Applications / V. de Paiva, J. van Genabith, E. Ritter. — 1999.

[_338c6c467907e9ed-5] Ломазова, 2004.

[_57ea7c1a7b28e92b-6] Lincoln, 1992.

[_6cf8a66469853884-7] Beffara, 2013.

[автоссылка898-8] Max I. Kanovich. The complexity of Horn fragments of Linear Logic. Annals of Pure and Applied Logic 69 (1994) 195—241