Основная теорема теории Галуа

Для данного конечного расширения ${\displaystyle E\supset F}$ соответствие устроено следующим образом:

• Для любой подгруппы ${\displaystyle H}$ группы Галуа соответствующее ей промежуточное поле, обычно обозначаемое ${\displaystyle E^{H}}$, — это множество тех элементов поля ${\displaystyle E}$, которые являются неподвижными точками каждого автоморфизма из ${\displaystyle H}$, с индуцированными из ${\displaystyle E}$ операциями.
• Для любого промежуточного поля соответствующая ему подгруппа состоит из тех автоморфизмов, которые действуют тождественно на этом промежуточном поле.

Например, поле ${\displaystyle E}$ соответствует тривиальной подгруппе, а ${\displaystyle F}$ — всей группе (так как все автоморфизмы из группы Галуа сохраняют меньшее поле, а для любого другого элемента существует автоморфизм, действующий на нём нетривиально).

Данное соответствие обладает несколькими полезными свойствами. В частности, оно обращает порядок по включению: для подгрупп группы Галуа условие ${\displaystyle H_{1}\subseteq H_{2}}$ равносильно ${\displaystyle E^{H_{2}}\subseteq E^{H_{1}}}$. Кроме того, поле ${\displaystyle E^{H}}$ является нормальным расширением ${\displaystyle F}$ (или, эквивалентно, расширением Галуа, так как каждое подрасширение сепарабельного расширения сепарабельно) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle EH}$ — нормальная подгруппа группы Галуа. Факторгруппа по ней изоморфна группе Галуа расширения ${\displaystyle E^{H}\supset F}$.

Решётка подполей и соответствующая решётка подгрупп

Рассмотрим поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$. Каждый его элемент можно записать в виде

${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}),}$

где ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle d}$ — рациональные числа. Рассмотрим автоморфизмы расширения ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q} }$. Поскольку это расширение порождается ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ и ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, любой автоморфизм однозначно определяется их образами. Автоморфизмы любого расширения могут только переставлять местами корни многочлена над меньшим полем, следовательно, в данном случае все возможные нетривиальные автоморфизмы — это перестановка ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ и ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ (обозначим этот автоморфизм ${\displaystyle f}$), перестановка ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ и ${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$ (автоморфизм ${\displaystyle g}$) и их композиция ${\displaystyle fg}$. Более точно, эти преобразования задаются следующим образом:

${\displaystyle f(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a-b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}},}$

${\displaystyle g(a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}})=a+b{\sqrt {2}}-c{\sqrt {3}}-d{\sqrt {6}}.}$

Очевидно, что эти отображения действуют биективно и переводят сумму в сумму, следовательно, для проверки равенства ${\displaystyle f(ab)=f(a)\cdot f(b)}$ достаточно проверить его на парах базисных элементов, что также тривиально. Таким образом, группа Галуа данного расширения — четверная группа Клейна:

${\displaystyle G=\{1,f,g,fg\}.}$

Она имеет три нетривильные подгруппы:

• автоморфизмы из подгруппы ${\displaystyle \{1,f\}}$ сохраняют элементы промежуточного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {3}})}$;
• автоморфизмы из ${\displaystyle \{1,g\}}$ сохраняют ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$;
• автоморфизмы из ${\displaystyle \{1,fg\}}$ сохраняют ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {6}})}$.

Основная теорема сводит вопрос существования промежуточных полей к вопросу о существовании подгрупп некоторой конечной группы (так как порядок группы Галуа равен размерности расширения), многие задачи теории Галуа решаются простым применением основной теоремы.

Например, вопрос о разрешимости уравнения в радикалах обычно формулируют так: можно ли выразить корни данного многочлена через его коэффициенты, используя только арифметические операции и операцию взятия корня ${\displaystyle n}$-й степени. На языке теории полей этот вопрос можно сформулировать так: рассмотрим поле ${\displaystyle F}$, порождённое коэффициентами многочлена, и поле ${\displaystyle E}$, полученное присоединением его корней. Спрашивается, существует ли такая цепочка промежуточных полей

${\displaystyle E=K_{n}\supset K_{n-1}\supset \ldots \supset K_{1}\supset K_{0}=F,}$

что ${\displaystyle K_{i+1}=K_{i}(\alpha )}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — корень уравнения ${\displaystyle x^{n}-a,\ a\in K_{i}}$, причём поле ${\displaystyle K_{i}}$ содержит все корни уравнения ${\displaystyle x^{n}-1}$. В этом случае можно доказать, что соответствующий ряд подгрупп группы Галуа обладает тем свойством, что факторгруппа ${\displaystyle G_{i}/G_{i+1}}$ существует и является циклической. Группы, для которых существует хотя бы один ряд с таким свойством, называются разрешимыми, таким образом, уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Такие теории, как теория Куммера и теория полей классов, основываются на основной теореме теории Галуа.

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0 (Graduate Studies in Mathematics) — American Mathematical Society, 2009 — ISBN 0-8218-4781-3.
• Marcus, Daniel. Number Fields (неопр.). — New York: Springer-Verlag, 1977. — ISBN 0-387-90279-1.