Сепарабельное расширение
Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля , состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов , минимальный аннулятор над для которых не имеет кратных корней. Производная должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики .
Для конечных расширений имеет место следующее утверждение: если , где — алгебраическое замыкание поля , то сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов поля в алгебраическое замыкание над равно степени . В случае несепарабельных расширений это число является делителем и называется сепарабельной степенью (частное равно некоторой степени характеристики).
Свойства сепарабельных расширений
Если расширения и сепарабельны, то и расширение сепарабельно. Обратно, если сепарабельно, то и и сепарабельны.
Если расширение сепарабельно, то для любого расширения (если и содержатся в каком-нибудь поле) композит полей является сепарабельным расширением .
Теорема о примитивном элементе: если , где алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над , а — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент (называемый примитивным элементом), что .
Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения
Расширение называется линейно свободным от , если любое конечное множество элементов линейно независимое над остаётся линейно независимым и над . Данное определение симметрично: если линейно свободно от над , то и наоборот, линейно свободно от над .
Расширение (не обязательно алгебраическое) над полем называется сепарабельным, если оно для некоторого натурального линейно свободно от расширения — порождённого присоединением всех корней степени из элементов . Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. От выбора числа данное определение не зависит и равносильно линейной свободе от — композита всех (критерий Маклейна).
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра . — М.: Наука, 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: Иностранная литература, 1963. — Т. 1 .
- Ленг С. Алгебра . — М.: Мир, 1967.