Минимальный многочлен алгебраического элемента

Минимальный многочлен в теории полей — конструкция, определяемая для алгебраического элемента: многочлен, которому кратны все многочлены, корнем которых является данный элемент.

Минимальные многочлены используются при изучении расширений полей. Если задано расширение и элемент , алгебраический над , то минимальное подполе , содержащее и , изоморфно факторкольцу , где  — кольцо многочленов с коэффициентами в , а  — главный идеал, порождённый минимальным многочленом . Также понятие минимального многочлена используется при определении сопряжённых элементов.

Определение

Пусть  — расширение поля,  — элемент, алгебраический над . Рассмотрим множество многочленов , таких что . Это множество образует идеал в кольце многочленов . Действительно, если , то , и для любого многочлена . Этот идеал ненулевой, так как по предположению элемент алгебраичен; поскольку  — область главных идеалов, этот идеал главный, то есть порождается некоторым многочленом . Такой многочлен определён с точностью до умножения на обратимый элемент поля; накладывая дополнительное требование, чтобы старший коэффициент был равен единице, то есть чтобы был приведённым многочленом, получается однозначное сопоставление произвольному алгебраическому элементу из данного расширения многочлена, который и называется минимальным многочленом . Из определения следует, что любой минимальный многочлен является неприводимым в .

Примеры

  • Пусть . Тогда минимальный многочлен числа  — это . Если же мы возьмём , то минимальный многочлен равен .
  • . Минимальный многочлен  — это .
  • Минимальный многочлен  равен
  • Аналогичный для многочлен равен

Сопряжённые элементы

Сопряжённые элементы алгебраического элемента над полем  — это все (остальные) корни минимального многочлена .

Свойства

Пусть  — нормальное расширение с группой автоморфизмов , . Тогда для любого  — является сопряжённым к , так как любой автоморфизм переводит корни данного многочлена из снова в корни. Обратно, любой элемент , сопряжённый к , имеет такой вид: это значит, что группа действует транзитивно на множестве сопряжённых элементов. Следовательно, по неприводимости минимального многочлена, K-изоморфно . Следовательно, отношение сопряжённости симметрично.

Теорема Кронекера утверждает, что любое алгебраическое целое число, такое что его модуль и модуль всех сопряжённых ему в поле комплексных чисел равен 1, является корнем из единицы.

Примечания

  • Minimal polynomial (англ.) на сайте PlanetMath.
  • Weisstein, Eric W. Conjugate Elements на сайте Wolfram MathWorld.
  • Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270—273. — ISBN 978-0-486-47417-5
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.