Приведённый многочлен

В алгебре комплексных чисел приведённый многочлен — это многочлен одной переменной с единичным старшим коэффициентом[1]. Старшим коэффициентом многочлена называется множитель при одночлене высшей степени[2]. Соответственно, приведённый многочлен относительно одной переменной x имеет вид

где an−1, …, a0 — коэффициенты.

Приведение многочлена

В множестве комплексных чисел существует элемент 1 (единица), нейтральный относительно умножения, и при их сложении, вычитании, умножении и делении на ненулевое число получается всегда комплексное число, то есть это множество является полем, а значит, на этом поле любой многочлен можно свести к приведённому многочлену, корни которого остались бы те же, делением на старший коэффициент. По основной теореме алгебры и теореме Безу любой комплексный многочлен можно разложить в виде an(x − x1)…(x − xn), где x1, …, xn — все корни многочлена с учётом их кратности, а an оказывается старшим коэффициентом. Следовательно, превращая любой многочлен одной переменной в приведённый многочлен, его можно представить в виде (x − x1)…(x − xn). Таким образом получается, что в поле комплексных чисел приведённый многочлен, с учётом кратности имеющий те же корни, что и исходный, определён единственным образом.

Свойство

Замкнутость относительно умножения

Множество всех приведённых многочленов (с коэффициентами над каким-либо кольцом и с переменной x) замкнуто относительно умножения, то есть произведение приведённых многочленов всегда является приведённым многочленом.

Целые алгебраические числа

Целое алгебраическое число — это число, которое может быть корнем какого-то приведённого многочлена с целыми коэффициентами[3]. Целые алгебраические числа, грубо говоря, обобщают целые числа по тому же принципу, по какому рациональные числа обобщаются до алгебраических: если алгебраическое число имеет первую степень, то оно является рациональным, а если целое алгебраическое — то вообще целымШаблон:Sfb.

Минимальный многочлен

Алгебраические числа, являющиеся «рациональным» обобщением целых алгебраических чисел, — это числа, которые могут быть представлены как корни какого-то многочлена с рациональными коэффициентами, не тождественно равного нулю. Таких многочленов оказывается бесконечно много: они могут образовываться умножением изначального многочлена на ненулевой коэффициент, а также на линейный множитель.

Среди всех этих многочленов «самым оптимальным» является минимальный многочлен. Минимальным многочленом (с коэффициентами из какого-то поля, содержащего единицу) алгебраического числа называется приведённый многочлен наименьшей степени.

Примечания
  1. Винберг, 2013, с. 99.
  2. Винберг, 2013, с. 91.
  3. Винберг, 2013, с. 385.

Литература

Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 2-е, стер.. — МЦНМО, 2013. — 590 с. — ISBN 978-5-4439-0209-8.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.