Факторкольцо

Пусть ${\displaystyle I}$ — двусторонний идеал кольца ${\displaystyle R}$. Определим на ${\displaystyle R}$ отношение эквивалентности:

${\displaystyle a\sim b}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a-b\in I.}$

Класс эквивалентности элемента ${\displaystyle a}$ обозначается как ${\displaystyle [a]}$ или ${\displaystyle a+I}$ и называется классом смежности по модулю идеала. Факторкольцо ${\displaystyle R/I}$ — это множество классов смежности элементов ${\displaystyle R}$ по модулю ${\displaystyle I}$, на котором следующим образом определены операции сложения и умножения:

${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$

${\displaystyle (a+I)\cdot (b+I)=ab+I}$

Легко проверить, что эти операции определены корректно, то есть не зависят от выбора конкретного представителя ${\displaystyle a}$ класса смежности ${\displaystyle a+I}$. Например, корректность умножения проверяется следующим образом: пусть ${\displaystyle a_{2}=a+i_{1},b_{2}=b+i_{2},\;i_{1,2}\in I}$. Тогда ${\displaystyle a_{2}b_{2}=(a+i_{1})(b+i_{2})=ab+i_{1}b+ai_{2}+i_{1}i_{2}\in ab+I}$. В последнем шаге доказательства использовалась замкнутость идеала относительно умножения на элемент кольца (как слева, так и справа) и замкнутость относительно сложения.

• Теорема о гомоморфизме колец:

Если ${\displaystyle f}$ — сюръективный гомоморфизм кольца ${\displaystyle \mathrm {K} }$ на кольцо ${\displaystyle \mathrm {R} }$, то ядро ${\displaystyle \ker \,f}$ является идеалом кольца ${\displaystyle \mathrm {K} }$, причём кольцо ${\displaystyle \mathrm {R} }$ изоморфно факторкольцу ${\displaystyle \mathrm {K} /\ker \,f}$.

Обратно: если ${\displaystyle \mathrm {J} }$ — идеал кольца ${\displaystyle \mathrm {K} }$, то отображение ${\displaystyle f:\mathrm {K} \to \mathrm {K/J} }$, определяемое условием ${\displaystyle f(a)=a+\mathrm {J} ,\forall a\in \mathrm {K} }$ является гомоморфизмом кольца ${\displaystyle \mathrm {J} }$ на ${\displaystyle \mathrm {K/J} }$ с ядром ${\displaystyle \mathrm {J} }$.

Теорема аналогична теореме о гомоморфизме групп.

• Идеал ${\displaystyle \mathrm {J} }$ кольца ${\displaystyle \mathrm {K} }$ является простым (максимальным) в том и только в том случае, когда факторкольцо ${\displaystyle \mathrm {K/J} }$ является целостным кольцом (полем).
• Согласно китайской теореме об остатках, если ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots I_{n}}$ — попарно взаимно простые идеалы (то есть сумма любых двух из них равна всему кольцу), то факторкольцо по их произведению (или, эквивалентно, по их пересечению) изоморфно произведению факторов вида ${\displaystyle R/(I_{i})}$.

• Пусть ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — кольцо целых чисел, ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ — идеал, состоящий из чисел, кратных ${\displaystyle n}$. Тогда ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ — конечное кольцо вычетов по модулю ${\displaystyle n}$. Такое кольцо также обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ или ${\displaystyle \mathbb {Z} /(n)}$.[1]
• Рассмотрим кольцо многочленов с действительными коэффициентами ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ и идеал, состоящий из многочленов, кратных ${\displaystyle x^{2}+1}$. Факторкольцо ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$ изоморфно полю комплексных чисел: класс ${\displaystyle [x]}$ соответствует мнимой единице. Действительно, в факторкольце элементы ${\displaystyle x^{2}+1}$ и ${\displaystyle 0}$ эквивалентны, то есть ${\displaystyle x^{2}=-1}$.
• Обобщая предыдущий пример, факторкольца часто используют для построения расширений полей. Пусть ${\displaystyle K}$ — некоторое поле и ${\displaystyle f(x)}$ — неприводимый многочлен в ${\displaystyle K[x]}$. Тогда ${\displaystyle K[x]/(f(x))}$ является полем, и это поле содержит по крайней мере один корень многочлена ${\displaystyle f(x)}$ — класс смежности элемента ${\displaystyle x}$.
• Важный пример использования предыдущей конструкции — построение конечных полей. Рассмотрим конечное поле ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ из двух элементов (которое в этом контексте обычно обозначается как ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$). Многочлен ${\displaystyle x^{2}+x+1}$ неприводим над этим полем (так как не имеет корней), следовательно, факторкольцо ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2}+x+1)}$ является полем. Это поле состоит из четырёх элементов: 0, 1, x и x+1. Все конечные поля можно построить аналогичным образом.

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
• М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8.