Теорема о примитивном элементе

Пусть ${\displaystyle E\supseteq F}$ — произвольное расширение поля. Элемент ${\displaystyle \alpha \in E}$ называется примитивным элементом для расширения ${\displaystyle E\supseteq F}$, если

${\displaystyle E=F(\alpha ).}$

Расширения, для которых существует хотя бы один примитивный элемент, называются простыми расширениями. Любой элемент ${\displaystyle x\in E}$ простого расширения можно записать в виде

${\displaystyle x={\frac {f_{n-1}{\alpha }^{n-1}+\cdots +f_{1}{\alpha }+f_{0}}{g_{k-1}{\alpha }^{k-1}+\cdots +g_{1}{\alpha }+g_{0}}}}$ где ${\displaystyle f_{i},g_{i}\in F,\alpha \in E}$

Если же, кроме того ${\displaystyle E\supseteq F}$ сепарабельно и имеет степень n, существует ${\displaystyle \alpha \in E}$, такое что множество

${\displaystyle \{1,\alpha ,\cdots ,{\alpha }^{n-1}\}}$

образует базис E как векторного пространства над F.

Следующая формулировка теоремы принадлежит Эмилю Артину:

Теорема. Пусть ${\displaystyle E\supseteq F}$ — конечное расширение поля. Тогда ${\displaystyle E=F(\alpha )}$ для некоторого ${\displaystyle \alpha \in E}$ тогда и только тогда, когда число промежуточных полей K вида ${\displaystyle E\supseteq K\supseteq F}$ конечно.

Из этого утверждения следует более традиционная формулировка теоремы о примитивном элементе:

Следствие. Пусть ${\displaystyle E\supseteq F}$ — конечное сепарабельное расширение. Тогда ${\displaystyle E=F(\alpha )}$ для некоторого ${\displaystyle \alpha \in E}$.

Это следствие можно немедленно применить к произвольным алгебраическим числовым полям, так как поле ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ имеет характеристику 0, следовательно, любое его расширение сепарабельно.

Далеко не очевидно, что если добавить в ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ корни многочленов ${\displaystyle x^{2}-2}$ и ${\displaystyle x^{2}-3}$, получив поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ степени 4 над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, то существует элемент ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$, через степени которого выражаются как ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, так и ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$. Оказывается, однако, что этому условию удовлетворяет

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$

Степени ${\displaystyle \gamma ,\gamma ^{2},\gamma ^{3}}$ выражаются как сумма ${\displaystyle {\sqrt {2}},{\sqrt {3}}}$ и ${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}}$ с целыми коэффициентами. Записав соответствующую систему линейных уравнений, можно выразить из неё ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ и ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ (например, ${\displaystyle {\sqrt {2}}=\scriptstyle {\frac {\gamma ^{3}-9\gamma }{2}}}$) откуда следует, что ${\displaystyle \gamma }$ является примитивным элементом.

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Доказательство теоремы на mathreference.com
• Доказательство теоремы на сайте Кена Брауна