Симметрический многочлен

Часто используются несколько последовательностей многочленов ${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ (${\displaystyle n}$-й многочлен — от ${\displaystyle n}$ переменных), таких что предыдущие получаются из следующих подстановкой нулей в лишние переменные:

${\displaystyle f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)=f_{n-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})}$.

Поэтому такие многочлены обозначаются без указания числа переменных: ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ или ${\displaystyle f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, где ${\displaystyle k}$ — не индекс внутри последовательности, а способ нумерации таких последовательностей. Например, степенные суммы ${\displaystyle p_{k}}$ степени ${\displaystyle k}$ — это многочлены

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\ldots +x_{n}^{k}}$.

Иногда удобно задавать эти последовательности симметрических многочленов при помощи производящих функций: для последовательности симметрических многочленов ${\displaystyle f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ такая производящая функция — это степенной ряд

${\displaystyle F(t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k}f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}}$

от ${\displaystyle (n+1)}$ переменных. Например, элементарные (или основные) симметрические многочлены ${\displaystyle \sigma _{k}}$ степени ${\displaystyle k}$ — это суммы всевозможных мономов степени ${\displaystyle k}$ без повторяющихся переменных; они задаются формулой

${\displaystyle \sigma _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n}x_{j_{1}}\cdot \ldots \cdot x_{j_{k}}}$

или производящей функцией

${\displaystyle \Sigma (t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=(1+tx_{1})\cdot \ldots \cdot (1+tx_{n})}$.

В частности,

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\sigma _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}\\\sigma _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}+{x_{1}}{x_{3}}+\cdots +{x_{n-1}}{x_{n}}\\&\cdots &\\\sigma _{n-1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-1}}+{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-2}}{x_{n}}+\cdots +{x_{2}}{x_{3}}\ldots {x_{n}}\\\sigma _{n}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n}}\\\end{array}}}$.

Многочлен ${\displaystyle \sigma _{0}}$ полагают равным ${\displaystyle 1}$, а многочлены ${\displaystyle \sigma _{k}}$ при ${\displaystyle k>n}$ — равными ${\displaystyle 0}$.

Другой пример, полные симметрические многочлены ${\displaystyle h_{k}}$ степени ${\displaystyle k}$ — это суммы всех мономов степени ${\displaystyle k}$, без ограничения на повторения переменных; они задаются формулой

${\displaystyle h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1}+\ldots +i_{n}=k}x_{1}^{i_{1}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{i_{n}}}$

или производящей функцией

${\displaystyle H(t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=(1-tx_{1})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-tx_{n})^{-1}}$.

Важными для теории представлений симметрических групп являются многочлены Шура — симметрические многочлены, параметризуемые разбиениями в сумму неотрицательных натуральных чисел. Многочлен Шура степени ${\displaystyle d}$, соответствующий разбиению ${\displaystyle d=d_{1}+\dots +d_{n},\quad d_{1}\geq \dots \geq d_{n}\geq 0,}$ равен[1]

${\displaystyle s_{(d_{1},\dots ,d_{n})}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{d_{j}+n-j})_{i,j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{n-j})_{i,j=1}^{n}}}}$.

Другим примером является дискриминант — многочлен

${\displaystyle D(f)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}}$,

где ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ — корни некоторого многочлена от одной переменной: ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}$.

Основная теорема теории симметрических многочленов утверждает, что любой симметрический многочлен может быть единственным способом выражен как многочлен от элементарных симметрических многочленов. Иначе говоря, для любого симметрического многочлена ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ существует (обычно несимметрический) многочлен ${\displaystyle g(y_{1},\ldots ,y_{n})}$, такой что

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(\sigma _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,\sigma _{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}))}$,

то есть они являются равными многочленами от ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, при этом такой многочлен ${\displaystyle g(y_{1},\ldots ,y_{n})}$ единственен.

Иначе говоря, элементарные симметрические многочлены алгебраически независимы и образуют базис алгебры симметрических функций: кольцо симметрических функций ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{S}}$ изоморфно кольцу ${\displaystyle k[\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n}]}$

Аналогичная теорема верна и для полных симметрических многочленов.

Производящие формулы элементарных и полных симметрических многочленов связаны соотношениями ${\displaystyle \Sigma (t)\cdot H(-t)=1}$, которые развёртываются в формулы

${\displaystyle \sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}\sigma _{r}h_{n-r}=0\quad (n>1)}$,

которые выражают элементарные симметрические многочлены через предыдущие элементарные и через все полные. Итоговая формула выглядит как[2]

${\displaystyle \sigma _{k}={\begin{vmatrix}h_{1}&1&0&\ldots &0\\h_{2}&h_{1}&1&\ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\h_{k-1}&h_{k-2}&h_{k-3}&\ldots &1\\h_{k}&h_{k-1}&h_{k-2}&\ldots &h_{1}\end{vmatrix}}}$;

аналогичная формула для выражения полных через симметрические получается заменой ${\displaystyle \sigma }$ и ${\displaystyle h}$ без других изменений.

• Дискриминант
• Симметрическая группа
• Многочлены Шура
• Формулы Ньютона для симметрических многочленов

• В. Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин. Симметрия в алгебре. — М.: МЦНМО, 2002. — 240 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-041-0.
• В. В. Прасолов. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — С. 91—99. — 335 с. — ISBN 5-94057-077-0.
• З. Б. Райхштейн. Тождества Ньютона и математическая индукция // Математическое просвещение. — 2000. — Вып. 4. — С. 204–205.