Сопряжённые числа

Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями[1]. Например, сопряжёнными являются числа $3+4i$ и $3-4i$ . Число, сопряжённое к числу $z$ , обозначается ${\overline {z}}$ . В общем случае, сопряжённым к числу $z=a+ib$ (где $a$ и $b$ — действительные числа) является ${\overline {z}}=a-ib$ .

Геометрическое представление

z

и его сопряжённого

{\bar {z}}

на комплексной плоскости

Например:

{\overline {(3-2i)}}=3+2i

{\overline {7}}=7

{\overline {i}}=-i.

На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид $re^{i\phi }$ и $re^{-i\phi }$ , что непосредственно следует из формулы Эйлера.

Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Свойства

Для произвольных комплексных чисел $z$ и $w$ :

${\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}$ ,
${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$
${\overline {z}}=z\Leftrightarrow z$ является действительным числом,
${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$ для всех целых $n$ ,
$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$ ,
${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$ ,
${\overline {\overline {z}}}=z$ (то есть, сопряжения является инволюцией),
$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}$ , если $z$ не равно нулю. С помощью этого свойства вычисляют обратное комплексного числа заданного в прямоугольных координатах.

Если $\phi$ является голоморфной функцией, сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены $\phi (z)$ , то:

\phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}

.

В частности:

$\exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}$
$\log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}$ , если $z$ не равно нулю.
если $p$ — полином с действительными коэффициентами и $p(z)=0$ , то также $p({\overline {z}})=0$ , то есть комплексные (не действительные) корни таких многочленов всегда образуют комплексно-сопряжённые пары.

Определение координат числа и сопряжения

Прямоугольные и полярные координаты комплексного числа могут быть определены с помощью формул:

$x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2$
$y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i$
$\rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}$
$e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}$ (если $z$ не равно нулю).

Примечания

Weisstein, Eric W. Complex Conjugates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Weisstein, Eric W. Complex Conjugates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.