Резольвента алгебраического уравнения

Дано квадратное уравнение:

${\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0}$

Найдём линейную резольвенту. Запишем простейшее нетривиальное равенство, не меняющееся при перестановке ${\displaystyle \ x_{1}}$ и ${\displaystyle \ x_{2}}$ местами

${\displaystyle \ (x_{1}-x_{2})^{2}=y_{1}}$

или

${\displaystyle \ (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=y_{1}}$.

Учитывая ${\displaystyle \ x_{1}+x_{2}=-b/a}$, ${\displaystyle \ x_{1}x_{2}=c/a}$,

${\displaystyle \ (b/a)^{2}-4c/a=y_{1}}$,

и ${\displaystyle \ y_{1}}$ будет корнем резольвенты - линейного уравнения

${\displaystyle \ a^{2}y-b^{2}+4ca=0\qquad \qquad \qquad \qquad (1.1)}$

Решим систему

${\displaystyle {\begin{cases}(x_{1}-x_{2})^{2}=y_{1}\\x_{1}+x_{2}=-b/a\\\end{cases}}}$

Выберем знак ${\displaystyle \ +}$ при извлечении квадратного корня, тогда её решение

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=({\sqrt {y_{1}}}-b/a)/2\\x_{2}&=(-{\sqrt {y_{1}}}-b/a)/2\\\end{aligned}}\qquad \qquad \qquad \qquad (1.2)}$

Выбор другого знака перед корнем меняет решения местами. Отметим здесь, что замена знаков перед квадратным корнем эквивалентна вычислению комплекснозначной функции квадратный корень, всегда имеющей два (кроме аргумента, равного нулю) различных значения, например ${\displaystyle \ {\sqrt {i}}_{1,2}=\left(e^{\frac {\pi i}{4}},e^{\frac {5\pi i}{4}}\right)=\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i),-{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)}$.

Дано приведённое кубическое уравнение, обычно его записывают в виде

${\displaystyle \ x^{3}+3px+2q=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.1)}$

Запишем тождество

${\displaystyle \ (a+b)^{3}-3ab(a+b)-a^{3}-b^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.2)}$

Тогда, по построению

${\displaystyle \ x_{1}=a+b\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.3)}$

будет корнем уравнения

${\displaystyle \ x^{3}-3abx-a^{3}-b^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.4)}$

Найдём остальные корни (2.4). По следствию из теоремы Безу (2.2) делится на двучлен ${\displaystyle \ x-(a+b)}$ без остатка. Поделим:

${\displaystyle \ x^{3}-3abx-a^{3}-b^{3}=(x-(a+b))(x^{2}+(a+b)x+a^{2}-ab+b^{2})}$

и найдём корни второго сомножителя

${\displaystyle \ x^{2}+(a+b)x+a^{2}-ab+b^{2}=0}$

с помощью резольвенты (1.1):

${\displaystyle \ y_{1}=(a+b)^{2}-4(a^{2}-ab+b^{2})=-3(a-b)^{2}}$,

и согласно (1.2)

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}=\rho a+\rho ^{2}b\\x_{3}=\rho ^{2}a+\rho b\\\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.5)}$,

где ${\displaystyle \ \rho ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$ — первообразный кубический корень из единицы, его свойства:

${\displaystyle \ \rho ^{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}}$, ${\displaystyle \ \rho ^{2}+\rho =-1}$, ${\displaystyle \ \rho ^{3}=1}$, ${\displaystyle \ (\rho ^{2})^{3}=1}$, ${\displaystyle \ \rho ^{4}=\rho \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.6)}$.

Итак, (2.4) мы решать умеем, осталось привести (2.1) к виду (2.4). Чтобы корни у уравнений (2.1) и (2.4) совпали, у них должны быть одинаковые коэффициенты при степенях ${\displaystyle \ x}$ и свободные члены. Если будут найдены ${\displaystyle \ a}$ и ${\displaystyle \ b}$ как выражения от ${\displaystyle \ p}$ и ${\displaystyle \ q}$, то решения (2.1) также будут известны. Приравняв коэффициенты, получим систему:

${\displaystyle {\begin{cases}p=-ab\\2q=-a^{3}-b^{3}\\\end{cases}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.7)}$

Возведя в куб первое уравнение (2.7), получим затем квадратное уравнение относительно ${\displaystyle \ a^{3}}$ и ${\displaystyle \ b^{3}}$

${\displaystyle \ y^{2}+2qy-p^{3}=0\quad \quad \quad \quad \quad \qquad (2.8)}$,

которое и будет резольвентой для уравнения (2.1). Её корни

${\displaystyle \ y_{1,2}=-q\pm {\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}$.

Возвращаясь к исходной переменной (${\displaystyle \ a={\sqrt[{3}]{y_{1}}}}$ ; ${\displaystyle \ b={\sqrt[{3}]{y_{2}}}}$), из (2.3), (2.5) находим все корни (2.1):

${\displaystyle \ x_{1}={\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}}$

${\displaystyle \ x_{2}=\rho {\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}+\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}}$

${\displaystyle \ x_{3}=\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{-q+{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}+\rho {\sqrt[{3}]{-q-{\sqrt {q^{2}+p^{3}}}}}}$

При вычислении двух кубических корней нужно выбирать такое одно из трёх значений комплекснозначной функции кубический корень, чтобы удовлетворялось первое из соотношений (2.7). Во всех трёх решениях это выбранное для каждого корня значение должно быть одинаковым.

Пусть нам неизвестно о существовании резольвенты (2.8). Отыщем её по выражению для корней. Найдём выражение, принимающее два значения при ${\displaystyle \ 3!=6}$ перестановках корней исходного уравнения (2.1). Рассмотрим:

${\displaystyle \ \left(x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}\right)^{3}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.9)}$,

Из (2.6) следуют свойства выражения (2.9) под степенью:

${\displaystyle \ x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}=\rho \left(x_{2}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{1}\right)=\rho ^{2}\left(x_{3}+\rho x_{1}+\rho ^{2}x_{2}\right)\quad (2.10)}$,

и при возведении в куб все три дают одно и то же, то есть значение (2.9) не меняется при цикле ${\displaystyle \ (123)}$. Транспозиция ${\displaystyle \ (1)(23)}$ даёт другое выражение, таким образом из шести возможных перестановок всего две уникальных, положим:

${\displaystyle \ {\begin{aligned}y_{1}=\left({\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\right)^{3}\\y_{2}=\left({\frac {x_{1}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{2}}{3}}\right)^{3}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.11)}$,

где ${\displaystyle \ {\frac {1}{3}}}$ - нормирующий множитель. Вычисления сумм и произведений через коэффициенты исходного уравнения дают нам коэффициенты резольвенты (2.8):

${\displaystyle \ {\begin{aligned}y_{1}+y_{2}&=-2q\quad \quad \quad \quad \quad (2.12)\\y_{1}y_{2}&=-p^{3}\quad \quad \quad \quad \quad (2.13)\end{aligned}}}$

Далее можно решать получившуюся систему:

${\displaystyle \ {\begin{aligned}{\begin{cases}\left({\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\right)^{3}&=y_{1}\\\left({\frac {x_{1}+\rho x_{3}+\rho ^{2}x_{2}}{3}}\right)^{3}&=y_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}&=0\end{cases}}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.19)}$.

Извлекая кубические корни из правых частей (2.19), имеем систему линейных уравнений:

${\displaystyle \ {\begin{aligned}{\begin{cases}x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}&=3{\sqrt[{3}]{y_{1}}}\\x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+\rho x_{3}&=3{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}&=0\end{cases}}\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2.20)}$.

Складывая все 3 уравнения, из (2.6) сразу получаем корень ${\displaystyle \ x_{1}}$, затем умножая первое уравнение на ${\displaystyle \ \rho ^{2}}$, а второе на ${\displaystyle \ \rho }$, и сложим все три - получим ${\displaystyle \ x_{2}}$. После наоборот - первое на ${\displaystyle \ \rho }$, а второе на ${\displaystyle \ \rho ^{2}}$ и сложим все три - получим ${\displaystyle \ x_{3}}$. Итого, все корни уравнения (2.1):

${\displaystyle \ {\begin{aligned}x_{1}&={\sqrt[{3}]{y_{1}}}+{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{2}&=\rho {\sqrt[{3}]{y_{1}}}+\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\x_{3}&=\rho ^{2}{\sqrt[{3}]{y_{1}}}+\rho {\sqrt[{3}]{y_{2}}}\\\end{aligned}}}$.

Здесь также необходимо правильно выбрать значения кубических корней. По формулам Виета легко проверяется, что

${\displaystyle \ 3p=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=-3{\sqrt[{3}]{y_{1}}}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}}$

потому нужно выбрать такие значения, чтобы

${\displaystyle \ {\sqrt[{3}]{y_{1}}}{\sqrt[{3}]{y_{2}}}=-p}$.

Теперь получим те же (2.11), предполагая, что резольвента (2.8) нам известна. Так как ${\displaystyle \ a^{3}=y_{1}}$, ${\displaystyle \ b^{3}=y_{2}}$, то решим систему

${\displaystyle \ {\begin{aligned}{\begin{cases}x_{1}&=a+b\\x_{2}&=\rho a+\rho ^{2}b\\x_{3}&=\rho ^{2}a+\rho b\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

относительно ${\displaystyle \ a}$ и ${\displaystyle \ b}$. Опять сложим три уравнения, умножая второе на ${\displaystyle \ \rho }$ и третье на ${\displaystyle \ \rho ^{2}}$, а затем сложим их, умножая второе на ${\displaystyle \ \rho ^{2}}$ и третье на ${\displaystyle \ \rho }$. Сразу получим

${\displaystyle \ {\begin{aligned}b={\frac {x_{1}+\rho x_{2}+\rho ^{2}x_{3}}{3}}\\a={\frac {x_{1}+\rho ^{2}x_{2}+\rho x_{3}}{3}}\\\end{aligned}}}$,

то есть, фактически первые два решения (2.20); и тут же выписывается искомое выражение (2.9).

Пусть имеется приведённое уравнение четвёртой степени:

${\displaystyle \ x^{4}+ax^{2}+bx+c=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.1)}$

Представим уравнение (3.1) в виде произведения двух квадратных трёхчленов:

${\displaystyle \ (x^{2}+p_{1}x+q_{1})(x^{2}+p_{2}x+q_{2})=0}$

Перемножим трёхчлены и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ${\displaystyle \ x}$ . Получим систему уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}p_{1}+p_{2}=0\\q_{1}+q_{2}+p_{1}p_{2}=a\\p_{1}q_{2}+p_{2}q_{1}=b\\q_{1}q_{2}=c\\\end{cases}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.2)}$

Из первого уравнения (3.2) обозначим

${\displaystyle \ p=p_{1}=-p_{2}}$

Уравнение запишется так:

${\displaystyle \ (x^{2}+px+q_{1})(x^{2}-px+q_{2})=0}$

Используя последнее обозначение, из второго и четвёртого уравнений (3.2) получим для ${\displaystyle \ q_{1},q_{2}}$ квадратное уравнение:

${\displaystyle \ Q^{2}-(a+p^{2})Q+c=0}$

Его корни:

${\displaystyle \ q_{1,2}={\frac {1}{2}}\left(a+p^{2}\pm {\sqrt {(p^{2}+a)^{2}-4c}}\right)\quad \quad (3.3)}$

Из третьего уравнения системы (3.2)

${\displaystyle \ p(q_{2}-q_{1})=b\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.4)}$

Возведя последнее в квадрат и подставив в него разность ${\displaystyle \ (q_{2}-q_{1})^{2}=(p^{2}+a)^{2}-4c}$ из (3.3), получим

${\displaystyle \ p^{2}((p^{2}+a)^{2}-4c)=b^{2}}$

Обозначив ${\displaystyle \ y=-p^{2}}$, получим кубическое уравнение относительно ${\displaystyle \ y}$, которое и будет резольвентой:

${\displaystyle \ y^{3}-2ay^{2}+(a^{2}-4c)y+b^{2}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.5)}$

Заметим, что последнее уравнение является резольвентой также и для исходного (3.1), в котором ${\displaystyle \ b}$ заменено на ${\displaystyle \ -b}$. Кроме того, можно было бы заменять ${\displaystyle \ y=p^{2}}$, но с минусом удобнее для дальнейшего решения.

Получим резольвенту (3.5) по заданным соотношениям для её корней. Составим выражение

${\displaystyle \ (x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})}$.

При всевозможных перестановках переменных ${\displaystyle \ x_{i}}$ в ${\displaystyle \ x_{j},i,j=1,2,3,4}$ получаем всего три разных выражения для ${\displaystyle \ y}$:

${\displaystyle \ y_{1}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})}$

${\displaystyle \ y_{2}=(x_{1}+x_{3})(x_{2}+x_{4})\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.6)}$

${\displaystyle \ y_{3}=(x_{1}+x_{4})(x_{2}+x_{3})}$

Трём значением соответствует кубическое уравнение, корнями которого они являются. Чтобы его найти, нужно вычислить коэффициенты при степенях ${\displaystyle \ y}$ через коэффициенты исходного уравнения (3.1). Сосчитать их неожиданно проще, чем для резольвенты кубического уравнения:

${\displaystyle \ y_{1}+y_{2}+y_{3}=2a}$

${\displaystyle \ y_{1}y_{2}+y_{2}y_{3}+y_{1}y_{3}=a^{2}-4c\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.7)}$

${\displaystyle \ y_{1}y_{2}y_{3}=-b^{2}}$

Далее можно действовать двумя способами:

Три корня кубического уравнения (3.5) соответствуют трем наборам чисел ${\displaystyle \ p,q_{1},q_{2}}$, которые получаются, если, тремя способами переставляя 4 корня исходного уравнения (3.1), представить его в виде произведения двух квадратных трёхчленов. Поэтому при решении резольвенты (3.5) достаточно выбрать один из корней ${\displaystyle \ y}$, при другом выборе корня соответствующие 4 решения уравнения (3.1) будут перестановками решений полученного.

Решив резольвенту (например, по формуле Кардано), выберем любой корень, пусть ${\displaystyle \ y_{1}}$.

Теперь нужно вернуться к ${\displaystyle \ p=\pm {\sqrt {-y_{1}}}}$ , выбрав любой знак перед квадратным корнем, а затем найти ${\displaystyle \ q_{1},q_{2}}$ , выбрав такие знаки перед корнями у решений (3.3), чтобы удовлетворялось равенство (3.4). После не составляет труда найти 4 корня двух трёхчленов. Окончательно:

${\displaystyle \ x_{1},_{2}=(-p\pm {\sqrt {p^{2}-4q_{1}}})/2}$

${\displaystyle \ x_{3},_{4}=(p\pm {\sqrt {p^{2}-4q_{2}}})/2}$,

где ${\displaystyle \ p}$ соответствует ${\displaystyle \ q_{1}}$ (первый трехчлен), а ${\displaystyle \ -p}$ соответствует ${\displaystyle \ q_{2}}$ (второй трехчлен).

При решении требуются все 3 корня резольвенты (3.5), пусть они найдены.

Выберем соответствие корня резольвенты ${\displaystyle \ y_{1}}$ корням ${\displaystyle \ x_{1},x_{2}}$ первого трёхчлена и ${\displaystyle \ x_{3},x_{4}}$ второго. Аналогично ${\displaystyle \ y_{2}}$ корням ${\displaystyle \ x_{1},x_{3}}$ первого трёхчлена и ${\displaystyle \ x_{2},x_{4}}$ второго; ${\displaystyle \ y_{3}}$ корням ${\displaystyle \ x_{1},x_{4}}$ первого трёхчлена и ${\displaystyle \ x_{2},x_{3}}$ второго. Тогда для ${\displaystyle \ y_{1}}$ имеет место:

${\displaystyle \ -p^{2}=y_{1}}$

По формулам Виета для первого и второго трехчленов соответственно:

${\displaystyle \ -p=x_{1}+x_{2}}$, ${\displaystyle \ p=x_{3}+x_{4}}$,

тогда

${\displaystyle \ y_{1}=-p^{2}=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})}$.

Проделав то же самое для корней ${\displaystyle \ y_{2},y_{3}}$ (для каждого будет своё ${\displaystyle \ p}$ ), снова получим систему (3.6). Уравнение (соотношение Виета для коэффициента исходного уравнения при ${\displaystyle \ x^{3}}$ )

${\displaystyle \ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.8)}$

замыкает систему (3.6). Подстановка из (3.8) в три уравнения (3.6) сразу приводит к системе

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&(x_{3}+x_{4})^{2}=-y_{1}\\&(x_{2}+x_{4})^{2}=-y_{2}\\&(x_{2}+x_{3})^{2}=-y_{3}\\&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\\end{aligned}}\end{cases}}}$

При её решении возникает трудность при выборе знака при извлечении квадратного корня. Можно было бы проверить знак равенства

${\displaystyle \ p{\sqrt {(p^{2}+a)^{2}-4c}}=b}$,

которое получалось в прямом выводе резольвенты (при возведении последнего равенства в квадрат добавились лишние корни с противоположными знаками), последовательно для ${\displaystyle \ p=\pm {\sqrt {-y_{1}}},p=\pm {\sqrt {-y_{2}}},p=\pm {\sqrt {-y_{3}}}}$ , но поступим проще. Выберем любой знак при извлечении квадратного корня, например ${\displaystyle \ -}$, и запишем систему, обозначив ${\displaystyle \ {\sqrt {-y_{1}}}=u}$ , ${\displaystyle \ {\sqrt {-y_{2}}}=v}$, ${\displaystyle \ {\sqrt {-y_{3}}}=w}$:

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{aligned}&x_{3}+x_{4}=-u\\&x_{2}+x_{4}=-v\\&x_{2}+x_{3}=-w\\&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\\\end{aligned}}\end{cases}}}$

Это - система линейных уравнений; просто решается подстановкой. Её решение:

${\displaystyle \ {\begin{aligned}x_{1}&=(-u-v-w)/2\\x_{2}&=(-u+v+w)/2\\x_{3}&=(u-v+w)/2\\x_{4}&=(u+v-w)/2\\\end{aligned}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.9)}$

Заметим, что однократная смена знака любого из слагаемых ${\displaystyle \ u}$, либо ${\displaystyle \ v}$ либо ${\displaystyle \ w}$ переводит решение ${\displaystyle \ \mathbf {x} }$ в решение ${\displaystyle \ -\mathbf {x} }$ и обратно (например, замена ${\displaystyle \ u}$ на ${\displaystyle \ -u}$ переводит ${\displaystyle \ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})}$ в ${\displaystyle \ (-x_{2},-x_{1},-x_{4},-x_{3})}$). Поэтому, если выбор знаков окажется неверен, то достаточно сменить знак у любого одного слагаемого в решении, и оно станет верным. По соотношениям корней ${\displaystyle \ x_{i}}$ с коэффициентами резольвенты нельзя сказать о верном выборе знака, так как она является резольвентой двух уравнений. Значит, надо искать соотношение между корнями и коэффициентами исходного, и в нём должен участвовать коэффициент ${\displaystyle \ b}$. Запишем соотношение Виета для него:

${\displaystyle \ x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}=-b}$

Подставив сюда выражения (3.9), получим

${\displaystyle uvw=b\quad \quad \quad \quad \quad \quad (3.10)}$,