Метод хорд

Будем искать нуль функции ${\displaystyle f(x)}$. Выберем две начальные точки ${\displaystyle C_{1}(x_{1};y_{1})}$ и ${\displaystyle C_{2}(x_{2};y_{2})}$ и проведем через них прямую. Она пересечет ось абсцисс в точке ${\displaystyle (x_{3};0)}$. Теперь найдем значение функции с абсциссой ${\displaystyle x_{3}}$. Временно будем считать ${\displaystyle x_{3}}$ корнем на отрезке ${\displaystyle [x_{1};x_{2}]}$. Пусть точка ${\displaystyle C_{3}}$ имеет абсциссу ${\displaystyle x_{3}}$ и лежит на графике. Теперь вместо точек ${\displaystyle C_{1}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ мы возьмём точку ${\displaystyle C_{3}}$ и точку ${\displaystyle C_{2}}$. Теперь с этими двумя точками проделаем ту же операцию и так далее, то есть будем получать две точки ${\displaystyle C_{n+1}}$ и ${\displaystyle C_{n}}$ и повторять операцию с ними. Отрезок, соединяющий последние две точки, пересекает ось абсцисс в точке, значение абсциссы которой можно приближённо считать корнем. Эти действия нужно повторять до тех пор, пока не получим значение корня с нужным приближением.

Пусть ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ — абсциссы концов хорды, ${\displaystyle f(x)=0}$ — уравнение функции, решаемое методом секущих. Найдём коэффициенты ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle b}$ из системы уравнений

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}f(x_{1})&=kx_{1}+b,\\f(x_{2})&=kx_{2}+b.\\\end{aligned}}\right.}$

Вычтем из первого уравнения второе:

${\displaystyle f(x_{1})-f(x_{2})=k(x_{1}-x_{2}),}$

затем найдём коэффициенты ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle b}$:

${\displaystyle k={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}},}$

тогда

${\displaystyle b=f(x_{1})-{\frac {(f(x_{2})-f(x_{1}))x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Уравнение принимает вид

${\displaystyle y={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+f(x_{1}).}$

Таким образом, теперь можем найти первое приближение к корню, полученное методом секущих:

${\displaystyle x_{3}=x_{1}-{\frac {(x_{2}-x_{1})f(x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})}}.}$

Теперь возьмём координаты ${\displaystyle x_{2}}$ и ${\displaystyle x_{3}}$ и повторим все проделанные операции, найдя новое приближение к корню. Таким образом, итерационная формула метода секущих имеет вид:

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i-1}-{\dfrac {f(x_{i-1})\cdot (x_{i}-x_{i-1})}{f(x_{i})-f(x_{i-1})}}.}$

Повторять операцию следует до тех пор, пока ${\displaystyle |x_{i}-x_{i-1}|}$ не станет меньше или равно заданному значению погрешности.

Первые три итерации метода хорд. Синим нарисована функция f(x), красными проводятся хорды

Иногда методом секущих называют метод с итерационной формулой

${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}-{\dfrac {f(x_{i})\cdot (x_{i}-x_{0})}{f(x_{i})-f(x_{0})}}.}$

Этот метод можно считать разновидностью метода простой итерации, и ою скорость сходимости. Далее для определённости этот метод будем называть методом хорд, а метод, описанный в предыдущем разделе, методом секущих.

Решим уравнение ${\displaystyle x^{3}-18x-83=0}$ методом секущих. Зададимся точностью ε=0.001 и возьмём в качестве начальных приближений ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle x_{1}}$ концы отрезка, на котором отделён корень: ${\displaystyle x_{0}=8}$ и ${\displaystyle x_{1}=3}$, числовые значения ${\displaystyle x_{0}=8}$ и ${\displaystyle x_{1}=3}$ выбраны произвольно. Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет выполнено неравенство ${\displaystyle |x_{i+1}-x_{i}|<\varepsilon }$.

В нашем примере, в значение ${\displaystyle x_{i-1}}$ подставляется ${\displaystyle x_{0}=8}$, а в значение ${\displaystyle x_{i}}$ подставляется ${\displaystyle x_{1}=3}$. Значение ${\displaystyle x_{i+1}}$ это будет числовое значение ${\displaystyle x_{2}={\underline {}}4.3924051}$ полученное по этой формуле. В дальнейшем ${\displaystyle x_{2}={\underline {}}4.3924051}$ подставляем в формулу в значение ${\displaystyle x_{i}}$, а ${\displaystyle x_{1}=3}$ в значение ${\displaystyle x_{i-1}}$.

По этой формуле последовательно получаем (подчёркнуты верные значащие цифры): (картинка из метода хорд, но не секущих, просьба разделить разделы)

Метод секущих. Первый случай

  ${\displaystyle x_{2}={\underline {}}4.3924051}$; 
  ${\displaystyle x_{3}={\underline {5}},1622721}$;
  ${\displaystyle x_{4}={\underline {5}}.4988422}$;
  ${\displaystyle x_{5}={\underline {5,6}}295040}$; 
  ${\displaystyle x_{6}={\underline {5.6}}777792}$;
  ${\displaystyle x_{7}={\underline {5.6}}952826}$;
  ${\displaystyle x_{8}={\underline {5.70}}15852}$;
  ${\displaystyle x_{9}={\underline {5.70}}38490}$;
  ${\displaystyle x_{10}={\underline {5.704}}6613}$; 
  ${\displaystyle x_{11}={\underline {5.704}}9528}$;

Проверим, что метод работает и в том случае, если ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle x_{1}}$ выбраны по одну и ту же сторону от корня (то есть, если корень не отделён на отрезке между начальными приближениями). Возьмём для того же уравнения ${\displaystyle x_{0}=8}$ и ${\displaystyle x_{1}=7}$. Тогда: (картинка уже не из метода секущих, а из метода дихотомии)

Метод секущих. Второй случай

  ${\displaystyle x_{2}={\underline {}}6.1125828}$; 
  ${\displaystyle x_{3}={\underline {5}}.8452240}$; 
  ${\displaystyle x_{4}={\underline {5.7}}546403}$; 
  ${\displaystyle x_{5}={\underline {5.7}}227874}$; 
  ${\displaystyle x_{6}={\underline {5.7}}114425}$;
  ${\displaystyle x_{7}={\underline {5.70}}73836}$;
  ${\displaystyle x_{8}={\underline {5.705}}9290}$; 
  ${\displaystyle x_{9}={\underline {5.705}}4075}$;

Мы получили то же значение корня за то же число итераций.

Итерации метода секущих сходятся к корню ${\displaystyle f(x)}$, если начальные величины ${\displaystyle x_{0}}$ and ${\displaystyle x_{1}}$ достаточно близки к корню. Метод секущих является быстрым. Порядок сходимости α равен золотому сечению:

${\displaystyle \alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1{,}618...}$

Таким образом, порядок сходимости больше линейного, но не квадратичен, как у родственного метода Ньютона.

Этот результат справедлив, если ${\displaystyle f(x)}$ дважды дифференцируема и корень ${\displaystyle \xi }$ не является кратным — ${\displaystyle f'(\xi )\neq 0}$.

Как и для большинства быстрых методов, для метода секущих трудно сформулировать условия сходимости. Если начальные точки достаточно близки к корню, то метод сходится, но нет общего определения «достаточной близости». Сходимость метода определяется тем, насколько функция «волниста» в ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]}$. Например, если в интервале есть точка, в которой ${\displaystyle f'(x)=0}$, то процесс может не сходиться.

Если ${\displaystyle f(x)}$ — дважды непрерывно дифференцируемая функция, и знак ${\displaystyle f''(x)}$ сохраняется на рассматриваемом промежутке, то полученные приближения будут сходиться к корню монотонно. Если корень ${\displaystyle \xi }$ уравнения ${\displaystyle f(\xi )=0}$ находится на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, производные ${\displaystyle f'(x)}$ и ${\displaystyle f''(x)}$ на этом промежутке непрерывны и сохраняют постоянные знаки и ${\displaystyle f''(b)f(b)>0}$, то можно доказать[1], что погрешность приближенного решения стремится к нулю при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$, то есть метод сходится и сходится со скоростью геометрической прогрессии (при этом говорят, что он имеет линейную скорость сходимости).

Первым, кто смог найти приближённые решения кубических уравнений, был Диофант, тем самым заложив основу метода хорд. Сохранившиеся работы Диофанта сообщают об этом. Однако первым, кто понял его методы, был Ферма в XVII веке, а первым, кто дал объяснение методу хорд, был Ньютон (1670-е гг.).[2]

Метод ложного положения отличается от метода секущих только тем, что всякий раз берутся не последние 2 точки, а те точки, которые находятся вокруг корня.

• Метод Ньютона (метод касательных)
• Метод простой итерации
• Обратная параболическая интерполяция

1. Демидович Б. П. и Марон И. А. Основы вычислительной математики. — Наука, 1970. — С. 664.
2. Бахвалов, Жидков, Кобельков. Численные методы. — Наука. — ISBN 5-94774-060-5.

• Решение уравнений методом хорд онлайн
• «Методы решения алгебраических уравнений» на сайте www.petrsu.ru Архивная копия от 8 января 2018 на Wayback Machine
• «Методы дихотомии» на сайте www.epikoiros.narod.ru
• Ю. Губарь, Курс «Введение в математическое моделирование» Лекция 4: Численные методы решения нелинейных уравнений // Интуит.ру, 15.03.2007