Уравнение пятой степени

Корни уравнения пятой степени ${\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4},\,x_{5}}$ связаны с коэффициентами ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f}$ следующим образом:

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=-{\frac {b}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}+x_{1}\,x_{3}+x_{1}\,x_{4}+x_{1}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}+x_{2}\,x_{4}+x_{2}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}+x_{3}\,x_{5}+x_{4}\,x_{5}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {d}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}+x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{5}+x_{1}\,x_{2}\,x_{4}\,x_{5}+x_{1}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}+x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}={\frac {e}{a}},}$

${\displaystyle x_{1}\,x_{2}\,x_{3}\,x_{4}\,x_{5}=-{\frac {f}{a}}.}$

Точной формулы решения уравнения пятой степени не существует. Если ${\displaystyle a=1,f=0}$

Уравнение имеет вид

${\displaystyle x^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex=0}$, где ${\displaystyle x}$ выносим за скобки (см. Сводное уравнение)

${\displaystyle x(x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e)=0}$, где один из корней равна нулю.

В скобках уравнение четвертой степени.

Если ${\displaystyle b=d=0}$, уравнение биквадратное. Один из корней равен нулю, остальные корни ищут по формуле

${\textstyle \pm {\sqrt {-c\pm {\frac {\sqrt {c^{2}-4e}}{2}}}}}$.

Если ${\displaystyle b=e=0}$, уравнение в скобках имеет вид

${\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx=0}$, где выносим за скобки:

${\displaystyle x(x^{3}+cx+d)=0}$, где один из корней ноль, остальные три корня ищем по формуле Кардано.

Решите уравнение

${\displaystyle x^{5}+5x=0}$.

Решение. Выносим ${\displaystyle x}$ за скобки:

${\displaystyle x(x^{4}+5)=0}$.

Раскладываем ${\displaystyle x^{4}+5}$ на множители:

${\displaystyle x(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)(x-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i)=0}$.

Уравнение имеет пять корней:

${\displaystyle x_{1}=0}$, ${\displaystyle x_{2}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$, ${\displaystyle x_{3}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}+{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$, ${\displaystyle x_{4}=-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$, ${\displaystyle x_{5}={\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {2}}}i}$.

• Квадратное уравнение
• Кубическое уравнение
• Уравнение четвёртой степени

• О решении уравнения пятой степени
• О решении уравнений высших степеней