Аффинная длина

Аффи́нная длина́ — параметр плоской кривой, который сохраняется при эквиаффинных преобразованиях (то есть аффинных преобразованиях, сохраняющих площадь).

Определение

Для плоской кривой аффинная длина вычисляется по формуле

где обозначает векторное произведение, а и — первую и вторую производную.

Частные случаи

  • Аффинная длина графика функции задаётся как
  • Для кривой с натуральным параметром и кривизной

Свойства

  • Аффинная длина дуги параболы равна где S есть площадь треугольника, образованного хордой дуги и касательными к параболе в концах дуги.
  • Среди выпуклых замкнутых кривых с фиксированной аффинной длиной эллипсы (и только они) ограничивают наименьшую площадь.

Вариации и обобщения

Существуют также обобщения аффинной длины на случай пространственных кривых и для общей аффинной группы, а также других её подгрупп.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.