Принцип соответствия границ

• В общем случае области с произвольной границей утверждение теоремы неверно.

Теорема Шварца о соответствии границ:

Если ${\displaystyle f}$ конформно отображает область ${\displaystyle G}$ на область ${\displaystyle G'}$, притом кривые ${\displaystyle \partial G}$ и ${\displaystyle \partial G'}$ являются аналитическими, то её можно продолжить до конформного отображения ${\displaystyle {\overline {f}}:{\overline {G}}\to {\overline {G'}}}$.

Это не есть усиление теоремы Каратеодори, поскольку существуют непрерывные, но не аналитические границы.

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.