Конвективная производная

Конвекти́вная произво́дная от векторной либо скалярной функции в точке ${\displaystyle {\vec {r}}}$ в момент времени t определяет изменение параметров данной функции в ${\displaystyle {\vec {r}}}$ в момент t при конвекции (движении среды с определенной скоростью ${\displaystyle {\vec {u}}({\vec {r}},t)}$). Является одним из слагаемых производной Лагранжа (субстанциональной производной) и может быть найдена путём действия оператора ${\displaystyle ({\vec {u}}\cdot \nabla )}$ на скалярную либо векторную функцию (тут ${\displaystyle \nabla }$ — оператор набла).

В общем случае материальная производная имеет вид:

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}\mathbf {A} }{{\mathcal {D}}t}}={\frac {D\mathbf {A} }{Dt}}-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\right)-\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\cdot \mathbf {A} \right)+\alpha _{1}\left(\operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\cdot \mathbf {A} \right)+\alpha _{2}\left(\mathbf {A} \cdot \operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)\right)+\alpha _{3}\cdot \mathbf {A} \cdot \operatorname {Tr} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)}$

или в индексной записи:

${\displaystyle {\frac {{\mathcal {D}}A_{ij}}{{\mathcal {D}}t}}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+\alpha _{1}\cdot v_{(i,k)}\cdot A_{kj}+\alpha _{2}\cdot A_{ik}\cdot v_{(k,j)}+\alpha _{3}\cdot {A}_{ij}\cdot v_{k,k}}$

где ${\displaystyle {\frac {DA_{ij}}{Dt}}={\frac {\partial A_{ij}}{\partial t}}+v_{k}\cdot {\frac {\partial A_{ij}}{\partial x_{k}}}}$ — обычная производная Лагранжа;

${\displaystyle \nabla \otimes \mathbf {v} }$ или ${\displaystyle v_{i,j}={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}}$ — производные по координатам;

${\displaystyle \operatorname {Sym} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)+\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }\right)}$ или ${\displaystyle v_{(i,j)}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}+v_{j,i}\right)}$ — симметрирование тензора;

${\displaystyle \operatorname {Alt} \left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)-\left(\nabla \otimes \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }\right)}$ или ${\displaystyle v_{[i,j]}={\frac {1}{2}}\left(v_{i,j}-v_{j,i}\right)}$ — альтернирование тензора.

Виды:

• Верхняя конвективная производная (производная Олдройда) — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=0}$

${\displaystyle {\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}}$

• Нижняя конвективная производная (производная Коттера — Ривлина) — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=4,\alpha _{3}=0}$

${\displaystyle {\stackrel {~\vartriangle }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}}$

• Правая конвективная производная — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=2,\alpha _{3}=0}$

${\displaystyle {\stackrel {~\triangleleft }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}}$

• Левая конвективная производная — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{3}=0,\alpha _{2}=2}$

${\displaystyle {\stackrel {~\triangleright }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}}$

• Вращательная производная (производная Яумана, Яумана — Зарембы — Нолла) — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=-1,\alpha _{3}=0}$

${\displaystyle {\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}={\frac {1}{2}}\left({\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}+{\stackrel {~\vartriangle }{A}}_{ij}\right)}$

• Производная Трусделла — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=0,\alpha _{3}=1}$

${\displaystyle {\stackrel {~\blacktriangledown }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\triangledown }{A}}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}}$

• Производная Хилла — ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=-1,\alpha _{3}=1}$

${\displaystyle {\stackrel {~\bullet }{A}}_{ij}={\frac {DA_{ij}}{Dt}}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel {~\circ }{A}}_{ij}+{A}_{ij}\cdot v_{k,k}}$

Различные виды конвективной производной используются для моделирования неньютоновских жидкостей, см., например, жидкость Максвелла.