Чирплет

Подобно вейвлетам (см. непрерывное вейвлет-преобразование или дискретное вейвлет-преобразование), чирплеты получаются из одного материнского чирплета (аналогично «материнскому» или «родительскому» вейвлету в теории вейвлетов).

Термин «chirplet transform» был предложен Стивом Манном[1] — он служил заголовком первой опубликованной на эту тему статьи. Само по себе слово «чирплет» использовалось Стивом Манном, Доминго Миховиловичем и Рональдом Брейсвеллом для описания результата применения взвешивающего окна к сигналу линейной частотной модуляции (ЛЧМ) (англ. chirp). По словам Манна:[2]

Вейвлет — это кусочек волны [wave], а чирплет — соответственно, кусочек ЛЧМ-сигнала [chirp]. Точнее, чирплет — результат умножения такого сигнала на окно, что обеспечивает свойство локализованности во времени. В условиях частотно-временного пространства мелкие ЛЧМ-импульсы существуют как вращающиеся, сдвинутые, деформированные структуры, движущиеся от традиционного параллелизма по временной и частотным осям, типичным для волн (Фурье и оконное преобразование Фурье или вейвлеты).

Таким образом, чирплет-преобразование является повернутым, взвешенным или иначе измененным мозаичным представлением частотно-временной плоскости. Если вейвлет на частотно-временной диаграмме выглядит как горизонтальная «черточка», то чирплет представляет собой наклонную черту (угол наклона зависит от скорости сдвига частоты). Т.e. этот метод расширяет возможности анализа паттернов спектрограммы и позволяет находить более сложные закономерности в исследуемых нестационарных процессах. Хотя ЛЧМ-сигналы и их приложения известны давно, первая опубликованная работа о «чирплет-преобразовании»[3] описывала особое представление сигналов с помощью семейств функций, связанных друг с другом операторами частотного, временного сдвигов, масштабирования и проч. В этой статье в качестве примера было представлено чирплет-преобразование от Гауссиана, вместе с примером обнаружения льда с помощью радиолокатора (улучшение результатов распознавания цели при применении описанного подхода). Термин «чирплет» (но не «чирплет-преобразование»!) также применялся для схожего преобразования, описанного Миховиловичем и Брэйсвеллом позже в том же году.

(a) В обработке изображений период часто изменяется линейно. (b) На этом рисунке повторяющиеся структуры (темные области в окнах и светлые опоры) «сплющиваются» (возрастает частота) при сдвиге вправо. (c) Чирплет преобразование в данном случае более полезно, чем Фурье или вейвлет–преобразования.

Чирплет-преобразование широко применяется в:

• радиолокации
• медицине
  • анализ кардиограмм;
  • анализ ЭЭГ, например Cui, et al..
• обработке сигналов
• обработке изображений
• SETI@home использует ЛЧМ-сигналы (chirp) для компенсации эффекта Доплера.
• Chirplet Time Domain Reflectometry (from National Instruments website)

Существует две основные категории чирплет-преобразования:

• фиксированное
• адаптивное

Далее, эти категории могут быть разделены:

• на основании выбора ЛЧМ
• на основании выбора окна

И в фиксированном, и в адаптивном случае чирплеты могут быть:

• q-чирплетами (квадратичные чирплеты) — в форме exp(j 2π (a t² + b t + c)). По сути, q-чирплет является взвешенным ЛЧМ-сигналом, отсюда и его название(квадратичное изменение фазы означает линейное изменение частоты).
• w-чирплетами, или варблетами (от англ. warble — трель). «Невзвешенный» варблет в частотно-временной плоскости выглядит как синусоида или похожая на неё кривая. Примером такого сигнала может являться сирена машины скорой помощи с периодически изменяемой частотой звука. Таким образом, варблет — взвешенный сигнал с периодическим частотно-временным изображением.
• d-чирплетами, или чирплетами Доплера. Этот тип имитирует Доплеровский сдвиг частоты, такой, например, как звук гудка проходящего мимо поезда.
• p-чирплетами, у которых масштаб изменяется проективно. Если вейвлет-преобразование основано на вейвлетах, имеющих форму g(ax+b), то чирплеты p-типа выражаются как g((ax+b)/(cx+1)), где a-масштаб, b- сдвиг а c — «чирп-рэйт» (наклон частоты).
• При анализе колебательных процессов ступенчатого характера, когда ширина и амплитуда каждой следующей ступени возрастают в геометрической прогрессии, может быть полезным чирплет на основе функции вида x*sin(2*pi*log(x)/log(a)), где параметр a — знаменатель геометрической прогрессии. Эту бесконечно растущую функцию целесообразно ограничить окном Гаусса или «ступенькой», умножив выражение на 1/(1+exp(-2*(1-x)/log(a))).

Применяемые окна:

• Гаусса
• прямоугольное

• Частотно-временное представление

Другие частотно-временные преобразования:

• Оконное преобразование Фурье
• Непрерывное вейвлет-преобразование
• fractional Fourier transform

• DiscreteTFDs — software for computing chirplet decompositions and time-frequency distributions

• The Chirplet Transform (web tutorial and info).
• Повышение эффективности передачи мультимедийной информации методом чирплет-преобразования. Тульский И. Н. (автореферат диссертации)
• S. Mann and S. Haykin, «The Chirplet transform: A generalization of Gabor’s logon transform», Proc. Vision Interface 1991, 205—212 (3—7 June 1991).
• D. Mihovilovic and R. N. Bracewell, "Adaptive chirplet representation of signals in the time-frequency plane, " Electronics Letters 27 (13), 1159—1161 (20 June 1991).
• S. Mann and S. Haykin, «The adaptive chirplet: An adaptive wavelet like transform», Proc. SPIE 36th Intl. Symp. Optical and Optoelectronic Appl. Sci. Eng. (21—26 July 1991). LEM, Logon Expectation Maximization
• S. Mann, Adaptive chirplet transform, Optical Engineering, Vol. 31, No. 6, pp1243-1256, June 1992; introduces Logon Expectation Maximization (LEM) and Radial Basis Functions (RBF) in Time-Frequency space.
• Osaka Kyoiku, Gabor, wavelet and chirplet transforms…(PDF)
• J. «Richard» Cui, etal, Time-frequency analysis of visual evoked potentials using chirplet transform, IEE Electronics Letters, vol. 41, no. 4, pp. 217—218, 2005.