Линейная частотная модуляция

Сигнал ЛЧМ в течение периода времени

Изменение частоты ${\displaystyle f(t)}$ внутри импульсов с ЛЧМ происходит по линейному закону:

${\displaystyle f(t)=f_{0}+b\cdot t,\quad -{\frac {T_{\text{c}}}{2}}\leqslant t\leqslant {\frac {T_{\text{c}}}{2}},}$

где ${\displaystyle f_{0}=(F_{\text{max}}+F_{\text{min}})/2}$ — центральное значение несущей частоты; ${\displaystyle b=(F_{\text{max}}-F_{\text{min}})/T_{\text{c}}}$; ${\displaystyle T_{\text{c}}}$ — длительность сигнала; ${\displaystyle F_{\text{max}}}$, ${\displaystyle F_{\text{min}}}$ — максимальное и минимальное значение частоты радиосигнала.

Фаза сигнала с ЛЧМ определяется как

${\displaystyle \varphi (t)=2\pi \int \limits _{0}^{t}f(t)\,dt=2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right).}$

Тогда ЛЧМ сигнал может быть описан выражением

${\displaystyle s_{\text{LFM}}(t)=S_{0}\cos\{\varphi _{0}+\varphi (t)\}=S_{0}\cos \left\{\varphi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right)\right\},}$

или в комплексном виде

${\displaystyle s_{\text{LFM}}}(t)=S_{0}e^{j\left\{\varphi _{0}+2\pi \left(f_{0}t+{\frac {b}{2}}t^{2}\right)\right\},}$

где ${\displaystyle S_{0}}$ — амплитуда сигнала; ${\displaystyle j}$ — мнимая единица; ${\displaystyle \varphi _{0}}$ — начальная фаза.

Спектр ЛЧМ описывается так:

${\displaystyle {\begin{cases}S(\omega )={\begin{cases}{\frac {A_{0}}{2}}{\sqrt {\frac {T_{c}}{\Delta F_{m}}}},&\left|\omega -\omega _{0}\right|\leqslant {\frac {\Omega _{M}}{2}}\\0,&\left|\omega -\omega _{0}\right|>{\frac {\Omega _{M}}{2}}\\\end{cases}}\\\varphi (\omega )={\begin{cases}{\tfrac {\pi }{4}}-{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2\Delta \Omega _{M}}}T_{c},&\left|\omega -\omega _{0}\right|\leqslant {\frac {\Omega _{M}}{2}}\\0,&\left|\omega -\omega _{0}\right|>{\frac {\Omega _{M}}{2}}\\\end{cases}}\\\end{cases}}}$