Функция Дирихле

Символически, функция Дирихле ${\displaystyle D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\}}$ определяется следующим образом:[2]

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q}$ ;\\0,&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} .\end{cases}}}

Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций[3][4]:

${\displaystyle D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)}$.

Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного).[5]

Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.[6]

Не является интегрируемой в смысле Римана.[7] Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Вариацией функции Дирихле является функция Римана, называемая также «функцией Тома» (Thomae).

• Jose Ferreiros. Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. — 2013. — 440 с.
• Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд.. — Физматлит, 2003. — Т. 1.
• С.М. Никольский. Курс математического анализа. — Москва: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — Т. 1.
• Dirichlet-function (неопр.). Encyclopedia of Mathematics.
• В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов. Курс математического анализа. — Москва, Ленинград: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1940. — Т. 1.
• William Dunham. The Calculus Gallery. — Princeton University Press, 2005. — ISBN 0-691-09565-5.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — Москва: «Мир», 1976.
• В. А. Зорич. Математический анализ. Часть 1. — 10-е изд., исправленное. — Москва: МЦНМО, 2019.

• Dirichlet Function — from MathWorld