Ряд Лиувилля — Неймана

Будем искать решение уравнения Фредгольма

${\displaystyle u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)}$

методом последовательных приближений, положив ${\displaystyle u^{(0)}(x)=f(x)}$:

${\displaystyle u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots }$

Последнее выражение в формуле является операторной записью интеграла. Методом математической индукции проверяется следующее равенство:

${\displaystyle u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots }$

Функции ${\displaystyle (K^{p}f)(x)}$ называются итерациями. Можно показать, что все итерации непрерывны и ограничены на ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle \|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\|K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0,\;1,\;\ldots ,}$

где ${\displaystyle \mathrm {mes} \,G}$ — мера множества ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle M=\max _{G}|K(x,\;y)|}$.

Из этой оценки следует, что ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,}$

называемый рядом Лиувилля — Неймана, мажорируется числовым рядом

${\displaystyle \|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={\frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G}},}$

сходящимся в круге ${\displaystyle |\lambda |<1/(M\mathrm {mes} \,G)}$, поэтому при таких ${\displaystyle \lambda }$ ряд Лиувилля — Неймана сходится регулярно (абсолютно и равномерно). Это значит, что последовательные приближения ${\displaystyle u^{(p)}(x)}$ при ${\displaystyle p\to \infty }$ равномерно стремятся к искомой функции ${\displaystyle u(x)}$.

• Резольвента интегрального уравнения
• Ряд Неймана

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5..