Алгебраическая квантовая теория

В алгебраической квантовой теории квантовая система характеризуется топологической инволютивной алгеброй ${\displaystyle A}$ и непрерывной положительной формой ${\displaystyle f}$ на этой алгебре. Элементы алгебры ${\displaystyle A}$ описывают наблюдаемые квантовой системы, а их значения ${\displaystyle f(a)}$ интерпретируются как средние значения этих наблюдаемых. При этом форма ${\displaystyle f}$ задает представление алгебры ${\displaystyle A}$ операторами в гильбертовом пространстве согласно так называемой конструкции ГНС (Гельфанда — Наймарка — Сигала).

Наиболее разработана алгебраическая квантовая теория с ${\displaystyle C^{*}}$-алгебрами и алгебрами фон Неймана. Однако конструкция ГНС обобщается и на случай ненормированных инволютивных алгебр, рассматриваемых в квантовой теории поля. В частности, будучи примененной к (ненормированным) алгебрам канонических коммутационных соотношений, конструкция ГНС согласуется с каноническим квантованием.