Интегральный логарифм

Из тождества, связывающего ${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Ei} (\ln x)}$ следует ряд:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\mathrm {Ei} \,(\ln x)=\gamma +\ln \ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{n}}{n\cdot n!}},}$

где ${\displaystyle \gamma \approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots }$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

${\displaystyle \mathrm {li} \,(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{2^{n-1}n!}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем ${\displaystyle x/\ln {x}}$. При справедливости гипотезы Римана выполняется[1]

${\displaystyle \pi (x)=\mathrm {Li} \,(x)+O({\sqrt {x}}\ln ^{2}(x)).}$

Для не слишком больших ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)<\mathrm {Li} \,(x)}$, однако доказано, что при некотором достаточно большом ${\displaystyle x}$ неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза, в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 10¹⁹[2] и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108}[3].

• Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.