Разложение Энгеля

Краайкамп и Ву[1] заметили, что разложение Энгеля можно записать в виде восходящего варианта непрерывной дроби:

${\displaystyle x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}.}$

Они утверждают, что восходящие непрерывные дроби, подобные этой, изучались ещё во времена книги абака Фибоначчи (1202). Это утверждение ссылается на нотацию сложных дробей Фибоначчи, в которых последовательность числителей и знаменателей, использующие одну общую черту, представляют восходящую непрерывную дробь:

${\displaystyle {\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\dfrac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.}$

Если в этой нотации все числители равны 0 или 1, как появляется в некоторых местах в книге абака, результатом будет разложение Энгеля. Однако разложение Энгеля как техника в книге не описано.

Чтобы найти разложение Энгеля для x, положим

${\displaystyle u_{1}=x,}$

${\displaystyle a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil ,}$

и

${\displaystyle u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1}$,

где ${\displaystyle \left\lceil r\right\rceil }$ — потолок (наименьшее целое, не меньшее r).

Если ${\displaystyle u_{i}=0}$ для некоторого i, останавливаем алгоритм.

Чтобы найти разложение Энгеля для числа 1,175, осуществим следующие шаги.

${\displaystyle u_{1}=1{,}175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}175}}\right\rceil =1;}$

${\displaystyle u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}175\cdot 1-1=0,175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}175}}\right\rceil =6}$

${\displaystyle u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}175\cdot 6-1=0{,}05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0{,}05}}\right\rceil =20}$

${\displaystyle u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}05\cdot 20-1=0}$

Последовательность закончилась. Таким образом,

${\displaystyle 1{,}175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}}$

и разложение Энгеля для 1,175 равно {1, 6, 20}.

Любое положительное рациональное число имеет единственное конечное разложение Энгеля. В алгоритме разложения Энгеля, если u_i является рациональным числом x/y, то u_i+1 = (−y mod x)/y. Таким образом, каждый шаг уменьшает числитель в остаточной дроби u_i и процесс построения разложения Энгеля должен прекратиться за конечное число шагов. Любое рациональное число также имеет единственное бесконечное разложение Энгеля: используя равенство

${\displaystyle {\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.}$

последнее число n в конечном разложении Энгеля можно заменить бесконечной последовательностью (n + 1) без изменения значения. Например,

${\displaystyle 1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}.\;\;}$

Это аналогично факту, что любое рациональное число с конечным десятичным представлением имеет бесконечное десятичное представление (см. 0,(9)). Бесконечное разложение Энгеля, в котором все элементы равны, это геометрическая прогрессия.

Эрдёш, Реньи и Сюс (Szüsz) задавали вопрос о нетривиальных границах длины конечного разложения Энгеля рациональной дроби x/y. На этот вопрос ответили Эрдёш и Шаллит доказав, что число членов разложения равно O(y^{1/3 + ε}) для любого ε > 0[2][3].

${\displaystyle \pi }$ = {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492,...} (последовательность A006784 в OEIS)

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ = {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144,...} (последовательность A028254 в OEIS)

${\displaystyle e}$ = {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13,...} (последовательность A000027 в OEIS)

${\displaystyle e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;}$

Другие разложения Энгеля можно найти здесь.

Коэффициенты a_i разложения Энгеля, как правило, имеют экспоненциальный рост. Точнее, для почти всех чисел в интервале (0,1] предел ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{1/n}}$ существует и равен e. Однако подмножество интервала, для которого это не выполняется, достаточно велико, так что его размерность Хаусдорфа равна единице[4].

Тот же типичный рост наблюдается у членов, генерируемых жадным алгоритмом для египетских дробей. Однако множество вещественных чисел в интервале (0,1], разложение Энгеля которых совпадает с их разложением жадным алгоритмом, имеет меру ноль и Хаусдорфову размерность 1/2[5].

• F. Engel. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg. — 1913. — С. 190—191.
• T. A. Pierce. On an algorithm and its use in approximating roots of algebraic equations // Am. Math. Monthly. — 1929. — Т. 36, № 10. — С. 523—525. — .
• Paul Erdős, Alfréd Rényi, Peter Szüsz. On Engel's and Sylvester's series // Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math.. — 1958. — Т. 1. — С. 7—32.
• Paul Erdős, Jeffrey Shallit. New bounds on the length of finite Pierce and Engel series // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. — 1991. — Т. 3, вып. 1. — С. 43—53. — doi:10.5802/jtnb.41.
• J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni. Approximation to quadratic irrationals and their Pierce expansions // Fib. Quart.. — 1998. — Т. 36, № 2. — С. 146—153.
• Cor Kraaikamp, Jun Wu. On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients // Monatshefte für Mathematik. — 2004. — Т. 143, вып. 4. — С. 285—298. — doi:10.1007/s00605-004-0246-3.
• Jun Wu. A problem of Galambos on Engel expansions // Acta Arithmetica. — 2000. — Т. 92, вып. 4. — С. 383—386.
• Jun Wu. How many points have the same Engel and Sylvester expansions? // Journal of Number Theory. — 2003. — Т. 103, вып. 1. — С. 16—26. — doi:10.1016/S0022-314X(03)00017-9.

• Weisstein, Eric W. Engel Expansion (неопр.). MathWorld–A Wolfram Web Resource.