Ряд Меркатора

Площадь под гиперболой ${\displaystyle y=1/x}$ в интервале ${\displaystyle (1,a)}$ равна ${\displaystyle \ln(a)}$

В 1647 году Грегуар де Сен-Венсан обнаружил связь логарифма и площади под гиперболой (см. рисунок). В 1650 году, исходя из геометрических соображений, итальянский математик Пьетро Менголи опубликовал в трактате «Новые арифметические квадратуры» разложение ${\displaystyle \ln 2}$ в бесконечный ряд[3]:

${\displaystyle \ln 2={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{5\cdot 6}}\dots }$

В 1657 году эту формулу независимо опубликовал английский математик Уильям Браункер в своей статье «Квадратура гиперболы с помощью бесконечного ряда рациональных чисел»[3].

В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман), проживавший тогда в Лондоне, в трактате «Logarithmotechnia» впервые рассмотрел разложение в ряд не числа, а функции[4]:

${\displaystyle {\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\dots }$

Далее он нашёл площади под левой и правой частями этого разложения (в современных терминах, проинтегрировал их) и получил «ряд Меркатора», который выписал для значений ${\displaystyle x=0{,}1}$ и ${\displaystyle x=0{,}21}$. Сходимость ряда Меркатор не исследовал, но сразу после выхода в свет труда Меркатора Джон Валлис указал, что ряд пригоден при ${\displaystyle 0\leqslant x<1}$ (отрицательными числами тогда пренебрегали).

Как обнаружили историки науки, Ньютон вывел такой же ряд в 1665 году, но, по своему обыкновению, не позаботился о публикации[5]. Глубокие исследования Ньютона в области бесконечных рядов были опубликованы только в 1711 году, в трактате «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»[1].

Ряд Меркатора непригоден для реальных расчётов, так как сходится очень медленно, причём в ограниченном интервале. Но уже в год публикации Меркатора (1668) Джеймс Грегори предложил модифицированный его вариант:

${\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)}$

Этот ряд сходится гораздо быстрее, а логарифмируемое выражение уже может представить любое положительное число ${\displaystyle z={\frac {1+x}{1-x}}}$, ибо тогда ${\displaystyle x={\frac {z-1}{z+1}}}$ по абсолютной величине меньше единицы[5]. Например, сумма первых 10 членов ряда Меркатора для ${\displaystyle \ln 2}$ равна ${\displaystyle 0{,}646,}$ здесь только первый десятичный знак верен, в то время как ряд Грегори даёт значение ${\displaystyle 0{,}6931471805498,}$ в котором верны 10 знаков из 13[6].

На комплексной плоскости ряд Меркатора приобретает обобщённый вид:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots }$

Это ряд Тейлора для комплексной функции ${\displaystyle f(z)=-\ln(1-z),}$ где символ ln обозначает главную ветвь (главное значение) комплексного натурального логарифма. Данный ряд сходится в круге ${\displaystyle |z|\leqslant 1,z\neq 1}$.

• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.

• Абельсон И. Б. Меркатор находит ключ // Рождение логарифмов. — М.—Л.: Гостехиздат, 1948. — 231 с.
• Weisstein, Eric W. Mercator Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.