Мера иррациональности

Пусть ${\displaystyle \alpha }$ — действительное число, и пусть ${\displaystyle M(\alpha )}$ — множество всех чисел ${\displaystyle \mu }$ таких, что неравенство ${\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$ имеет лишь конечное число решений в целых числах ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q>0}$:

${\displaystyle M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\;q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.}$

Тогда мера иррациональности ${\displaystyle \mu (\alpha )}$ числа ${\displaystyle \alpha }$ определяется как точная нижняя грань ${\displaystyle M(\alpha )}$:

${\displaystyle \mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).}$

Если ${\displaystyle M(\alpha )=\varnothing }$, то полагают ${\displaystyle \mu (\alpha )=+\infty }$.

Другими словами, ${\displaystyle \mu }$ — наименьшее число, такое, что для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ для всех рациональных приближений ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ с достаточно большим знаменателем верно, что ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\mu +\varepsilon }}}}$.

• ${\displaystyle \mu (\alpha )=1}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha }$ — рациональное число.
• Если ${\displaystyle \alpha }$ — алгебраическое иррациональное число, то ${\displaystyle \mu (\alpha )=2}$.
• Если ${\displaystyle \alpha }$ — трансцендентное число, то ${\displaystyle \mu (\alpha )\geqslant 2}$. В частности, если ${\displaystyle \mu (\alpha )=+\infty }$, то число ${\displaystyle \alpha }$ называют лиувиллевым числом.

Если ${\displaystyle \alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots ]}$ — разложение числа ${\displaystyle \alpha }$ в цепную дробь, и ${\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}}$ — ${\displaystyle n}$-ая подходящая цепная дробь, то

${\displaystyle \mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup \limits _{n\to +\infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.}$

С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения ${\displaystyle \varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots ]}$, и тогда ${\displaystyle \mu (\varphi )=2}$.

По лемме Дирихле, если ${\displaystyle \alpha }$ иррационально, то существует бесконечное количество таких p и q, что ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$, то есть ${\displaystyle \mu (\alpha )\geqslant 2}$. В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ степени ${\displaystyle n}$ можно подобрать константу ${\displaystyle c=c(\alpha )}$ такую, что ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}}$. В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют теоремой Туэ — Зигеля — Рота. Она утверждает, что если ${\displaystyle \alpha }$ — алгебраическое иррациональное число, то ${\displaystyle \mu (\alpha )=2}$. За это доказательство Рот получил Филдсовскую премию.

Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что ${\displaystyle \mu \left(e\right)=2}$, а также известны числа Лиувилля, которые по определению имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. Например:

• ${\displaystyle \mu \left(\pi \right)\leqslant 7{,}103205334137}$[1]
• ${\displaystyle \mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891}$
• ${\displaystyle \mu \left(\ln 3\right)\leqslant 5{,}116201}$
• ${\displaystyle \mu \left(\pi ^{2}\right)\leqslant 5{,}09541179}$[2]
• ${\displaystyle \mu \left({\frac {\pi }{\sqrt {3}}}\right)\leqslant 4{,}230464}$[3]
• ${\displaystyle \mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391}$

• Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
• Цепная дробь

• Weisstein, Eric W. Irrationality Measure (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.