Лиувиллево число

Лиувиллево число — иррациональное число ${\displaystyle x}$, которое может быть приближено рациональными числами так, что для любого целого ${\displaystyle n}$ существует бесконечно много пар целых ${\displaystyle (p,q)}$ (${\displaystyle q>1}$) таких, что:

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$.

Диофантово число[1] — иррациональное число, которое таким образом представлено быть не может, то есть при приближении рациональным числом ошибка составляет не менее некоторой степени знаменателя:

${\displaystyle \exists C,\alpha >0\colon \quad \forall p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \quad \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {C}{q^{\alpha }}}}$.

По теореме Лиувилля о приближении алгебраических чисел, всякое алгебраическое иррациональное число является диофантовым. В частности, тем самым, любое лиувиллево число трансцендентно, что позволяет явно строить трансцендентные числа как суммы сверхбыстро сходящихся рядов рациональных чисел.

Диофантовы числа метрически типичны: их множество имеет полную меру Лебега. Лиувиллевы числа, напротив, типичны с топологической точки зрения: их множество остаточно.

Мера иррациональности чисел Лиувилля: ${\displaystyle \mu (x)=+\infty }$, кроме того, если мера иррациональности числа бесконечна, то оно лиувиллево (иногда это свойство принимается за определение чисел Лиувилля).

Классический пример лиувиллева числа — постоянная Лиувилля, определяемая как:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0{,}1100010000000000000000010000\ldots }$