Теория трансцендентных чисел

Понятие трансцендентных чисел, противопоставленных алгебраическим, восходит к семнадцатому веку, когда Готфрид Лейбниц доказал, что синус не является алгебраической функцией[1]. Более обстоятельно этот вопрос в 1740-е годы рассмотрел Эйлер[2]; он заявил [3], что значение логарифма ${\displaystyle \log _{a}{b}}$ для рациональных чисел ${\displaystyle a,b}$ не является алгебраическим, за исключением случая, когда ${\displaystyle b=a^{c}}$ для некоторого рационального ${\displaystyle c.}$ Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не было доказано вплоть до XX века. Эйлеру принадлежат и сами термины: алгебраическое и трансцендентное число (в работе 1775 года)[4].

Первые конкретные примеры трансцендентных чисел указал Жозеф Лиувилль в 1840-х годах с помощью непрерывных дробей. Позднее, в 1850-х годах, он сформулировал необходимое условие для того, чтобы число было алгебраическим; соответственно, если это условие нарушается, то число заведомо трансцендентно[5]. С помощью такого критерия он описал широкий класс трансцендентных чисел, получивший название «чисел Лиувилля». Позднее было установлено, что числа Лиувилля образуют на вещественной числовой оси всюду плотное множество, имеющее мощность континуума и вместе с тем нулевую меру Лебега[6].

Критерий Лиувилля по существу означает, что алгебраические числа не могут быть хорошо аппроксимированы (приближены) рациональными числами (см. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел). Таким образом, если число хорошо аппроксимируется рациональными числами, то оно обязано быть трансцендентным. Точный смысл понятия «хорошо аппроксимируется» у Лиувилля следующий: если ${\displaystyle \alpha }$ является алгебраическим числом степени ${\displaystyle d\geqslant 2}$ и ε — любое положительное число, то неравенство

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}$

может иметь лишь конечное число рациональных решений ${\displaystyle p/q.}$ Таким образом, для доказательства трансцендентности следует убедиться, что при любых ${\displaystyle d}$ и ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует бесконечно много решений указанного неравенства[7].

В XX веке труды Акселя Туэ[8], Карла Зигеля[9] и Клауса Рота[10] позволили несколько упростить проверку неравенства Лиувилля, заменив выражение ${\displaystyle d+\varepsilon }$ сначала на ${\displaystyle d/2+\varepsilon +1,}$ а затем (1955 год) на ${\displaystyle 2+\varepsilon .}$ Этот результат, известный как теорема Туэ — Зигеля — Рота, как полагали, уже не может быть улучшен, так как проверено, что замена ${\displaystyle 2+\varepsilon }$ на просто 2 даёт ошибочное утверждение. Однако Серж Ленг предложил улучшение версии Рота; в частности, он предположил, что ${\displaystyle q^{2+\varepsilon }}$ можно заменить на меньшее выражение ${\displaystyle q^{2}\ln(q)^{1+\varepsilon }}$.

Теорема Рота эффективно завершила работу, начатую Лиувиллем, она позволила математикам доказать трансцендентность многих чисел — например, константы Чемпернауна. Тем не менее данная методика недостаточно сильна, чтобы обнаружить все трансцендентные числа; в частности, она неприменима к числам ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \pi }$[11].

Для анализа таких чисел, как ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \pi ,}$ в девятнадцатом веке были разработаны другие методы. Указанные две константы, как известно, связаны тождеством Эйлера. Удобным инструментом анализа стали так называемые вспомогательные функции, которые имеют много нулей в исследуемых точках. Здесь много нулей может означать буквально большое число нулей, или всего один ноль, но с высокой кратностью, или даже множество нулей с высокой кратностью каждый.

Шарль Эрмит в 1873 году, чтобы доказать трансцендентность ${\displaystyle e,}$ использовал вспомогательные функции, аппроксимирующие функцию ${\displaystyle e^{kx}}$ для каждого натурального числа ${\displaystyle k}$[12]. В 1880-е годы результаты Эрмита были использованы Фердинандом фон Линдеманом[13] для того, чтобы доказать: если ${\displaystyle \alpha }$ — ненулевое алгебраическое число, то ${\displaystyle e^{\alpha }}$ трансцендентно. В частности, отсюда следует, что число ${\displaystyle \pi }$ трансцендентно, поскольку ${\displaystyle e^{i\pi }}$ является алгебраическим числом (равно -1). Это открытие закрывает такую известную проблему античности, как «квадратура круга». Другой класс чисел, чья трансцендентность следует из теоремы Линдемана — логарифмы алгебраических чисел[6].

Дальнейшим развитием темы занялся Карл Вейерштрасс, опубликовавший в 1885 году теорему Линдемана–Вейерштрасса[14]. Он значительно расширил класс чисел с доказанной трансцендентностью, включив в него значения функций синуса и косинуса почти для всех алгебраических значений аргументов[4].

В 1900 году Давид Гильберт в своём знаменитом докладе на Втором Международном конгрессе математиков перечислил важнейшие математические проблемы. В седьмой из них, одной из самых трудных (по его собственной оценке), ставился вопрос о трансцендентности чисел вида ${\displaystyle a^{b},}$ где ${\displaystyle a,b}$ — алгебраические числа, ${\displaystyle a}$ не ноль и не единица, а ${\displaystyle b}$ иррационально. В 1930-х годах Александр Гельфонд[15] и Теодор Шнайдер[16] доказали, что все такие числа действительно трансцендентны (теорема Гельфонда—Шнайдера). Авторы использовали для доказательства неявную вспомогательную функцию, существование которой гарантирует лемма Зигеля. Из теоремы Гельфонда–Шнайдера вытекает трансцендентность таких чисел, как ${\displaystyle e^{\pi }}$, ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ и постоянная Гельфонда[6].

Следующий важный результат в этой области был получен в 1960-х годах, когда Алан Бейкер продвинулся в решении проблемы, поставленной Гельфондом и касающейся линейных форм над логарифмами. Ранее Гельфонду удалось найти нетривиальную нижнюю границу для выражения:

${\displaystyle |\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}|\,}$

где все четыре неизвестные величины являются алгебраическими, причём ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$ не равны нулю или единице, а ${\displaystyle \beta _{1},\beta _{2}}$ иррациональны. Найти аналогичные нижние границы для суммы трёх и более логарифмов Гельфонду не удалось. Доказательство теоремы Бейкера содержало нахождение таких границ и решение проблемы числа классов Гаусса. Эта работа принесла Бейкеру премию Филдса 1970 года за её использование для решения диофантовых уравнений.

Из теоремы Бейкера следует, что если ${\displaystyle \alpha _{1}\dots \alpha _{n}}$ — алгебраические числа, не равные нулю или единице, и ${\displaystyle \beta _{1}\dots \beta _{n}}$ — алгебраические числа такие, что ${\displaystyle 1,\beta _{1}\dots \beta _{n}}$ линейно независимы над полем рациональных чисел, то число ${\displaystyle \alpha _{1}^{\beta _{1}}\alpha _{2}^{\beta _{2}}\cdots \alpha _{n}^{\beta _{n}}}$ трансцендентно[17].

В 1874 году Георг Кантор, разрабатывая свою теории множеств, доказал, что алгебраические числа могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Другими словами, множество алгебраических чисел счётно, а тогда множество трансцендентных чисел должно быть не только бесконечно, но и более чем счётно (континуально)[18]. Позже, в 1891 году, Кантор использовал для доказательства более простой и привычный диагональный метод[19]. Встречаются мнения, что эти результаты Кантора непригодны для построения конкретных трансцендентных чисел[20], однако на деле доказательства в обоих вышеупомянутых документах дают методы построения трансцендентных чисел[21]. Кантор использовал теорию множеств для доказательства полноты множества трансцендентных чисел.

Одной из последних тенденций при решении задач теории трансцендентных чисел стало использование теории моделей. Проблема состоит в том, чтобы определить степень трансцендентности поля

${\displaystyle K=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n},e^{x_{1}},\ldots ,e^{x_{n}})}$

для комплексных чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$ которые являются линейно независимыми над полем рациональных чисел. Стивен Шеньюл (Stephen Schanuel) предположил, что ответ, по крайней мере, n, но доказательства этого пока нет. В 2004 году, правда, Борис Зильбер опубликовал работу, которая использует теоретико-модельные методы, чтобы создать структуру, которая ведёт себя очень похоже на комплексные числа, снабжённые операциями сложения, умножения и возведения в степень. Кроме того, в этой абстрактной структуре гипотеза Шеньюла действительно выполняется[22]. К сожалению, пока нет уверенности, что эта структура действительно такая же, как комплексные числа с названными операциями.