Аксиомы Пеано

Аксио́мы Пеа́но — одна из систем аксиом для натуральных чисел, введённая в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многие свойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа для построения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. В сокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематических разработок, включая решение фундаментальных вопросов о непротиворечивости и полноте теории чисел.

Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждает существование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующие четыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логику аксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные. Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражении натуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования. Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — о принципе математической индукции над рядом натуральных чисел. Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомы индукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлением символов операций сложения и умножения.

Формулировки

Словесная

1 является натуральным числом;
Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
1 не следует ни за каким натуральным числом;
Если натуральное число $a$ непосредственно следует как за числом $b$ , так и за числом $c$ , то $b$ и $c$ тождественны;
(Аксиома индукции.) Если какое-либо предположение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа $n$ , вытекает, что оно верно для следующего за $n$ натурального числа (индукционное предположение), то это предположение верно для всех натуральных чисел.

Математическая

Математическая формулировка использует функцию следования $S(x)$ , которая сопоставляет числу $x$ следующее за ним число.

$1\in \mathbb {N}$ ;
$x\in \mathbb {N} \Rightarrow S(x)\in \mathbb {N}$ ;
$\nexists x\in \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big )}$ ;
${\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c$ ;
$P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )}$ .

Возможна и иная форма записи:

$1\in \mathbb {N}$ ;
$S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \setminus \{1\}$ ;
$\exists S^{-1}$ ;
$1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \subset M$ .

Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некоторое высказывание $P$ верно для $n=1$ (база индукции) и для любого $n$ из верности $P(n)$ следует верность и $P(S(n))$ (индукционное предположение), то $P(n)$ верно для любых натуральных $n$ .

Формализация арифметики

Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

$x+1=S(x)$ ;
$x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})$ ;
$x\cdot 1=x$ ;
$x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}$ .

О неполноте

Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения о натуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходя из аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простую формулировку, например, теорема Гудстейна или теорема Париса–Харрингтона.

Категоричность

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[1], а также краткое доказательство[2]), что если $(\mathbb {N} ,1,S)$ и $({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})$ — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция) $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ такая, что $f(1)={\tilde {1}}$ и $f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))$ для всех $x\in \mathbb {N}$ .

Поэтому достаточно зафиксировать в качестве $\mathbb {N}$ какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Например, из аксиомы индукции вытекает, что к любому натуральному числу можно перейти от $1$ за конечное число шагов (с помощью функции $S$ ). Для доказательства выберем в качестве предиката $P(n)$ само это утверждение "к числу $n$ можно перейти от $1$ за конечное число шагов с помощью функции $S$ ". Верно $P(1)$ . Верно также ${\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}$ , поскольку $S(n)$ может быть получено из $n$ при помощи одного применения операции $S$ к числу, которое по предположению $P(n)$ может быть получено из $1$ за конечное число применений $S$ . Согласно аксиоме индукции $\forall n(P(n))$ .

История

Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз до появления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многие факты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов о функции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз Сандерс Пирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел. Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировал итальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построениях Грассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новым способом» (лат. Arithmetices principia, nova methodo exposita). В 1888 году (за год до Пеано) практически в точности подобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд[3]. Непротиворечивость арифметики Пеано доказана в 1936 году Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала $\epsilon _{0}.$ Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Примечания

Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
Доказательство единственности натуральных чисел (неопр.). Дата обращения: 4 февраля 2011. Архивировано 22 августа 2011 года.
Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37. — 292 с. — (Элементы математики).

Литература

Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita. Bocca, Torino, 1889.
Peano, G. Formulaire de mathematiques. Tome II — № 2. Bocca, Torino, 1897.
Арнольд И. В. Теоретическая арифметика. М.:Учпедгиз, 1938.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.

[2] Доказательство единственности натуральных чисел (неопр.). Дата обращения: 4 февраля 2011. Архивировано 22 августа 2011 года.

[3] Н. Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова (перевод с французского). — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37. — 292 с. — (Элементы математики).