163 (число)

Число 163 — наибольшее из чисел Хегнера[1][2][3]. Это наибольшее значение d, при котором число классов мнимого квадратичного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ равно 1. Эквивалентно, кольцо целых этого поля является факториальным кольцом[4][5].

Кольца целых чисел в поле ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ называются квадратичными кольцами[5]. Существует шестнадцать евклидовых вещественных квадратичных колец для d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73[6][7]; существует только пять евклидовых мнимых квадратичных колец, для d = −1, −2, −3, −7, −11[5][7][8]. При d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 кольца целых в ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ являются факториальными (гипотеза Гаусса)[5][1][9][10].

Дискриминант многочлена

${\displaystyle x^{2}-x+41,}$

значения которого при ${\displaystyle 0\leq x\leq 40}$ являются простыми числами, равен −163[4]. Значение константы Рамануджана[11][12]

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx 262537412640768743{,}9999999999992500725971981856888\ldots }$

отличается от ближайшего целого числа приблизительно на 7,5 × 10⁻¹³[4].

Более того, равенство

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}[ne^{\pi {\sqrt {163}}/3}]\approx 1280640}$

выполняется с точностью более полумиллиарда десятичных знаков после запятой[13].

Все эти факты связаны с тем, что классовое число квадратичного поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})}$ равно 1, а поскольку 163 — наибольшее из чисел ${\displaystyle d}$, обладающих таким свойством, то и отличие ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}}}$ от ближайшего целого минимально при выборе именно ${\displaystyle d=163}$[4][3][14].

В конце 1964 года Дж. Бриллхарт и Моррисон осуществили численный эксперимент по разложению в непрерывные дроби кубических иррациональностей, в ходе которого было установлено, что разложение в непрерывную дробь действительного корня уравнения

${\displaystyle x^{3}-8x-10=0}$

содержит не менее 8 неполных частных, превосходящих 10 000: 22 986, 35 657, 48 120, 49 405, 53 460, 325 927, 1 501 790, 16 467 250. Как выяснилось позже, возникновение столь больших неполных частных связано с тем, что дискриминант уравнения равен ${\displaystyle 4\cdot (-163),}$ а число классов поля ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-163}})}$ равно единице[15].

163 из 3⁹ = 19 683 матриц 3 × 3 с коэффициентами из [−1; 1] порождают (с использованием обычного матричного умножения) группу порядка 2[16]. Если брать коэффициенты из [−n; n], то при n = 1, 2, 3, 4, 5, … число матриц, порождающих группу порядка 2, равно 163, 643, 1651, 3379, 5203, ….