Теорема Вейерштрасса — Стоуна

Теорема Вейерштра́сса — Стоуна — утверждение о возможности представления любой непрерывной функции на хаусдорфовом компакте пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций особого класса — алгебры Стоуна.

Первоначально сформулирована и доказана Карлом Вейерштрассом в 1885 году для непрерывных на отрезке вещественной прямой функций, устанавливая возможность их равномерно приблизить последовательностью многочленов. В 1937 году Маршалл Стоун существенно обобщил результат, распространив результат на функции, непрерывные на произвольном T₂-отделимом компактном пространстве, образующие кольцо, а в качестве равномерно сходящихся последовательностей функций вместо многочленов — функции из специфичного подкласса непрерывных функций, образующего подкольцо.

Позднее найдены и другие обобщения результата.

Теорема Вейерштрасса

Пусть $f$ — непрерывная функция, определённая на отрезке $[a,b]$ . Тогда для любого $\varepsilon >0$ существует такой многочлен $p$ с вещественными коэффициентами, что для всех $x$ из $[a,\;b]$ одновременно выполнено условие $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$ [1].

Если $f(x)$ непрерывна на круге (периодична), то утверждение верно и для тригонометрических многочленов.

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома $p$ следует считать комплексными числами.

Схема доказательства Вейерштрасса

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения: для вещественных всюду определённых непрерывных функций $f(x)$ и $\psi (x)$ , абсолютное значение которых не превосходит некоторой границы, притом $\psi (x)$ нигде не меняет своего знака и удовлетворяет равенству $\psi (-x)=\psi (x)$ и для неё сходится интеграл:

\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)dx=\omega

,

выполнено:

f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy

.

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен $f(x)$ , но и что сходимость равномерная по $x$ , меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве $\psi (x)=e^{-x^{2}}$ , каждая функция из семейства:

F_{k}(x)={\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy

вполне определена при всех комплексных $x$ и является целой. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (теорема Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию $f(x)$ можно равномерно приблизить многочленами на любом конечном интервале.

Если к тому же $f(x)$ — периодическая функция с периодом $T$ , то функции $F_{k}(x)$ являются целыми периодическими функциями. Но тогда:

F_{k}\left({\frac {T}{2\pi i}}\ln z\right)

является однозначной и голоморфной функцией в области $z\not =0$ и, следовательно, разлагается в ряд Лорана:

F_{k}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\exp {\left({\frac {2\pi }{T}}inx\right)}

,

поэтому $F_{k}(x)$ , а значит и $f(x)$ можно приблизить тригонометрическими многочленами.

Значение результата Вейерштрасса

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а формирующийся на базе интегрального и дифференциального исчисления анализ занимался произвольными функциями, так, Герман Ханкель особо отмечал: «о функции $y$ от $x$ говорят, когда каждому значению переменной $x$ , [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение $y$ ; при этом не существенно, зависит ли $y$ от $x$ во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций»[3], подчёркивая, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция есть предел многочленов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Топологические следствия

Согласно теореме Вейерштрасса пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

Обобщение Стоуна

В 1935 году Стоун доказал, что всякую функцию из кольца $C(K)$ непрерывных на хаусдорфовом компакте $K$ вещественнозначных функций можно равномерно приблизить функциями специального класса — составляющими алгебру Стоуна, то есть любая алгебра Стоуна $C_{0}$ является всюду плотной в пространстве непрерывных функций на компакте: ${\overline {C_{0}}}=C(K)$ . В качестве нормы равномерной сходимости на $C(K)$ берётся $\|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|$ , а алгебра Стоуна определяется как подалгебра $C_{0}\subseteq C(K)$ , элементы которой разделяют точки $K$ .

Более точно, алгебра Стоуна $C_{0}$ — это множество функций из кольца $C(K)$ , удовлетворяющее следующим условиям:

вместе с любыми её элементами $f,g\in C_{0}$ в алгебру Стоуна входят элементы: $cf$ ( $c\in \mathbb {R}$ ), $f+g$ , $fg$ ;
алгебра Стоуна содержит постоянную функцию $1$ ;
для каждой пары различных точек $x_{1},x_{2}\in K$ найдётся хотя бы одна функция $f\in C_{0},$ такая, что $f(x_{1})\neq f(x_{2})$ .

Дальнейшие обобщения

Существует серия обобщений теоремы Вейерштрасса — Стоуна в различных направлениях. Например, по теореме Мергеляна всякую функцию, непрерывную на всяком компакте со связным дополнением на комплексной плоскости и голоморфную в его внутренних точках можно равномерно приблизить комплексными многочленами. Также были найдены обобщения, позволяющие вместо хаусдорфова компакта рассматривать функции, непрерывные на произвольном тихоновском пространстве.

См. также

Многочлен Бернштейна

Примечания

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261

Литература

Вейерштрасса — Стоуна теорема — статья из Математической энциклопедии. В. И. Пономарев
Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М.: Наука, 1977. — 512 с.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734

[2] Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.

[3] Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261