Тригонометрический многочлен

Тригонометрический многочлен — функция вещественного аргумента, которая является конечной тригонометрической суммой, то есть функция, представленная в виде:

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))}$,

где аргумент и коэффициенты ${\displaystyle x,a_{k},b_{k}\in \mathbb {R} }$, а ${\displaystyle k=1,2,...,n}$.

В комплексной форме согласно формуле Эйлера такой многочлен записывается следующим образом:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx}}$,

где ${\displaystyle c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{-k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2}}}$.

Эта функция бесконечно дифференцируема и ${\displaystyle 2\pi }$-периодична — непрерывна на единичном круге.

Тригонометрические многочлены являются важнейшим средством приближения функций, используются для интерполяции и решения дифференциальных уравнений.

Согласно теореме Вейерштрасса для любой непрерывной на круге функции существует последовательность тригонометрических многочленов, которая к ней равномерно сходится.

Тригонометрический многочлен является частичной суммой ряда Фурье. Согласно теореме Фейера последовательность арифметических средних частичных сумм ряда Фурье равномерно сходится к непрерывной на круге функции. Это даёт простой конструктивный метод построения равномерно сходящейся последовательности тригонометрических многочленов.