Ядро Фейера

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — интегрируема на ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ и ${\displaystyle 2\pi }$-периодическая, тогда ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \sigma _{n}(f;x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x-u)\Phi _{n}(u)du=\int \limits _{0}^{\pi }(f(x-u)+f(x+u))\Phi _{n}(u)du}$

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — непрерывная, ${\displaystyle 2\pi }$ периодическая функция, ${\displaystyle S_{k}(x)}$ — частичные суммы ряда Фурье этой функции, а ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$ среднее арифметическое этих частичных сумм — ${\displaystyle \sigma _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum \limits _{k=0}^{n}{S_{k}(x)}}$, называемое также суммой Фейера порядка n.

Тогда ${\displaystyle \sigma _{n}(x)}$ равномерно сходится к ${\displaystyle f(x)}$.

• ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ — положительная, ${\displaystyle 2\pi }$-периодическая, чётная функция
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ~\int \limits _{-\pi }^{\pi }\Phi _{n}(u)du={\pi }}$
• Для любого фиксированного ${\displaystyle \delta >0}$ : ${\displaystyle \int \limits _{\delta }^{\pi }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,\int \limits _{-\pi }^{-\delta }\Phi _{n}(u)du\rightarrow 0,n\rightarrow \infty }$

• ${\displaystyle F_{n}(x)\geqslant 0}$;
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{n}(x)dx=1}$
• Для любого фиксированного ${\displaystyle \delta >0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ справедливо ${\displaystyle \int _{|x|\geqslant \delta }F_{n}(x)dx\rightarrow 0}$