Метод неопределённых коэффициентов

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на простейшие дроби.

Пусть ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена ${\displaystyle P}$ меньше степени многочлена ${\displaystyle Q}$. Будем полагать, что степень многочлена ${\displaystyle Q}$ равна ${\displaystyle n}$, коэффициент при старшем члене многочлена ${\displaystyle Q}$ равен 1, а ${\displaystyle z_{k}}$, ${\displaystyle k\leq n}$ ― различные корни многочлена ${\displaystyle Q}$ с кратностями ${\displaystyle \alpha _{k}\geq 1}$, соответственно. Отсюда имеем

${\displaystyle Q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k})^{\alpha _{k}},}$

${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{k}=n,}$

Функция ${\displaystyle P/Q}$ представима, и притом единственным образом, в виде суммы простейших дробей

${\displaystyle {\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\alpha _{i}}{\frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},}$

где ${\displaystyle A_{i,j}}$ ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно ${\displaystyle n}$). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно ${\displaystyle A_{i,j}}$.

Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если ${\displaystyle Q}$ имеет только некратные корни ${\displaystyle z_{k}}$, ${\displaystyle k=1,...,n}$, т.е. все ${\displaystyle \alpha _{k}=1}$ и

${\displaystyle {\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{z-z_{i}}}.}$

После умножения на ${\displaystyle z-z_{k}}$ последнего равенства и подстановки ${\displaystyle z=z_{k}}$ непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента

${\displaystyle A_{k}={\frac {P(z_{k})}{\prod \limits _{i\neq k}(z_{k}-z_{i})}},\quad k=1,...,n.}$.

При вычислении неопределённого интеграла от рациональной функции метод неопределённых коэффициентов используется при разложении дроби на сумму простейших, как описано выше, а также в методе Остроградского, применяемом если корни знаменателя дроби имеют большую кратность. Он также используется при интегрировании иррациональностей вида

${\displaystyle {P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}},}$

где ${\displaystyle P_{n}(x)}$ многочлен степени n. Тогда

${\displaystyle \int {P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}dx=P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2}+bx+c}}+\lambda \int {dx \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}.}$

После дифференцирования этого равенства, решая систему уравнений, определяют неопределённые коэффициенты многочлена ${\displaystyle P_{n-1}(x)}$ степени n-1, а также ${\displaystyle \lambda }$[1].

Если функция ${\displaystyle f(x)}$, не равная нулю при ${\displaystyle x=0}$ разложена в ряд Маклорена:

${\displaystyle f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,}$

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

${\displaystyle 1/f(x)=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots ,}$

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

${\displaystyle g(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots ,}$

При этом используется соотношение ${\displaystyle g(f(x))=x}$, то есть весь ряд для ${\displaystyle f(x)}$ подставляется вместо ${\displaystyle x}$ в ряд для ${\displaystyle g(x)}$.

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{k}}$. Будем искать ответ в виде многочлена ${\displaystyle k+1}$-ой степени от ${\displaystyle n}$. Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Ищем ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}}$ в виде ${\displaystyle p(n)=an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e}$.

По определению ${\displaystyle p(n)-p(n-1)=n^{3}}$, а также ${\displaystyle p(1)=1}$. Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:

${\displaystyle {\begin{cases}4a-1=0\\-6a+3b=0\\4a-3b+2c=0\\-a+b-c+d=0\\a+b+c+d+e=1\end{cases}},}$

откуда получаем ответ: ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}}$

В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения ${\displaystyle \Delta p(n)=n^{3}}$, здесь же ищется решение уравнения ${\displaystyle a_{n}f^{(n)}(x)+\ldots +a_{2}f''(x)+a_{1}f'(x)+a_{0}f(x)=g(x)}$.

Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.