Метод Остроградского

Метод Остроградского назван по имени М. В. Остроградского, впервые предложившего его 22 ноября 1844 года на заседании физико-математического отделения Академии наук[1], опубликован в следующем году на французском языке[2], статья переведена на русский в 1958 г.[1]

Любой интеграл от рациональной функции можно представить в виде

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx}$.

Здесь ${\displaystyle Q_{2}(x)}$ представляет собой произведение всех неприводимых множителей многочлена ${\displaystyle Q(x)}$ без учёта кратности (то есть каждый неприводимый множитель многочлена ${\displaystyle Q(x)}$ встречается в разложении многочлена ${\displaystyle Q_{2}(x)}$ один раз), ${\displaystyle Q_{1}(x)}$ — произведение всех неприводимых множителей многочлена ${\displaystyle Q(x)}$ с пониженной на 1 кратностью (каждый неприводимый множитель многочлена ${\displaystyle Q(x)}$ кратности ${\displaystyle n}$ встречается в разложении многочлена ${\displaystyle Q_{1}(x)}$ ${\displaystyle n-1}$ раз). Дробь ${\displaystyle {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}}$ является правильной. Эта формула называется формулой Остроградского. ${\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}}$ здесь есть алгебраическая (рациональная) часть интеграла от рациональной функции ${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}dx}$, а ${\displaystyle \int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx}$ — трансцендентная.

Суть метода заключается в следующем. Запишем многочлены ${\displaystyle P_{1}(x)}$ и ${\displaystyle P_{2}(x)}$ с неопределёнными коэффициентами:

${\displaystyle P_{1}(x)=A_{s}x^{s}+\ldots +A_{1}x+A_{0}}$

${\displaystyle P_{2}(x)=B_{r}x^{r}+\ldots +B_{1}x+B_{0}}$.

Степени многочленов можно выяснить позже, а можно заранее взять наверняка. Пусть далее ${\displaystyle \operatorname {deg} {P}=n,\ \operatorname {deg} {Q}=m,\ \operatorname {deg} {Q_{2}}=p,\ \operatorname {deg} {Q_{1}}=m-p}$. Дробь под интегралом должна получиться правильной, поэтому степень ${\displaystyle P_{2}}$ можно взять за ${\displaystyle p-1}$. Если первоначальная дробь была правильной, то и ${\displaystyle {\frac {P_{1}}{Q_{1}}}}$ правильная и можно взять степень ${\displaystyle P_{1}}$ как ${\displaystyle m-p-1}$. Если же она неправильная, то выделить целую часть и свести дробь к правильной (или же взять степень такую, чтобы степени целых частей слева и справа совпали).

Теперь мы можем найти коэффициенты этих многочленов методом неопределённых коэффициентов. Продифференцируем это равенство.

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P_{1}'(x)Q_{1}(x)-P_{1}(x)Q_{1}'(x)}{Q_{1}^{2}(x)}}+{\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}}$

Умножим обе части на ${\displaystyle Q(x)}$.

${\displaystyle P(x)={\frac {P_{1}'(x)Q(x)}{Q_{1}(x)}}-{\frac {P_{1}(x)Q_{1}'(x)Q(x)}{Q_{1}^{2}(x)}}+{\frac {P_{2}(x)Q(x)}{Q_{2}(x)}}=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)}$

В обоих частях равенства стоят многочлены. ${\displaystyle P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)}}}$ здесь тоже многочлен, так как ${\displaystyle Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}$ делится на ${\displaystyle Q_{1}(x)}$. Приравниваем коэффициенты при равных степенях и получаем систему линейных алгебраических уравнений. Решая её, получаем в итоге коэффициенты многочленов ${\displaystyle P_{1}(x)}$ и ${\displaystyle P_{2}(x)}$.

В итоге мы представили первоначальный интеграл в виде ${\displaystyle {\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}dx}$. Задача свелась к интегрированию дроби без кратных неприводимых множителей в знаменателе.

Формула ${\displaystyle P(x)=P_{1}'(x)Q_{2}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{1}'(x)Q_{2}(x)}{Q_{1}(x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)}$ позволяет более точно подобрать степени для многочленов ${\displaystyle P_{1}(x)}$ и ${\displaystyle P_{2}(x)}$. Если приравнять степени всех слагаемых, то получим ${\displaystyle s=n-p+1}$ и ${\displaystyle r=n+p-m}$.

Метод Остроградского позволяет сразу же получить алгебраическую часть интеграла рациональной функции. Более того, для этого даже не нужно вычислять разложение ${\displaystyle Q(x)}$ на неприводимые. Действительно, ${\displaystyle Q_{1}(x)={\text{НОД}}(Q,Q')}$, ${\displaystyle Q_{2}(x)={\frac {Q}{{\text{НОД}}(Q,Q')}}}$. НОД многочленов же можно вычислить при помощи алгоритма Евклида. Таким образом, алгебраическая часть интеграла от рациональной функции может быть найдена при помощи метода Остроградского с использованием только лишь алгебраических операций.

Доказательство того, что для любой рациональной дроби можно записать формулу Остроградского, получается сразу же из общего вида интеграла.

Запишем общий вид интеграла от рациональной фукнции.

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}}}}\,dx={\frac {T(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\sum _{i=1}^{l}{A_{i}\ln {|x-x_{i}|}}+\sum _{i=1}^{n}\left({B_{i}\ln(x^{2}+p_{i}x+q_{i})+C_{i}\operatorname {arctg} {\frac {x+r_{i}}{h}}}\right)}$

${\displaystyle x+r_{i}}$ здесь линейный двучлен, получаемый выделением полного квадрата из ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}}$, т. е. ${\displaystyle x^{2}+p_{i}x+q_{i}=(x+r_{i})^{2}+h^{2}}$. Занесём логарифмы и арктангенсы под интеграл.

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}}}}\,dx={\frac {T(x)}{\displaystyle \prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})^{k_{i}-1}\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x^{2}+p_{i}x+q_{i})^{m_{i}-1}}}+\int \left(\sum _{i=1}^{l}{\frac {A_{i}}{x-x_{i}}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {B_{i}(2x+p_{i})+C_{i}h}{x^{2}+p_{i}x+q_{i}}}\right)\right)\,dx}$

Полученная формула и есть формула Остроградского. Дробь под интегралом правильная, поскольку является суммой правильных дробей.