Алгоритм Евклида

Пусть ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — целые числа, не равные одновременно нулю, и последовательность чисел

${\displaystyle a>b>r_{1}>r_{2}>r_{3}>r_{4}>\ \dots \ >r_{n}}$

определена тем, что каждое ${\displaystyle r_{k}}$ — это остаток от деления предпредыдущего числа на предыдущее, а предпоследнее делится на последнее нацело, то есть:

${\displaystyle a=bq_{0}+r_{1},}$

${\displaystyle b=r_{1}q_{1}+r_{2},}$

${\displaystyle r_{1}=r_{2}q_{2}+r_{3},}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle r_{k-2}=r_{k-1}q_{k-1}+r_{k},}$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle r_{n-2}=r_{n-1}q_{n-1}+r_{n},}$

${\displaystyle r_{n-1}=r_{n}q_{n}.}$

Тогда НОД(a, b), наибольший общий делитель a и b, равен r_n, последнему ненулевому члену этой последовательности[11].

Существование таких r₁, r₂, …, r_n, то есть возможность деления с остатком m на n для любого целого m и целого n ≠ 0, доказывается индукцией по m.

Корректность этого алгоритма вытекает из следующих двух утверждений[12]:

I. Пусть a = b⋅q + r, тогда НОД (a, b) = НОД (b, r).

II. НОД(r, 0) = r для любого ненулевого r (так как 0 делится на любое целое число).

Пусть даны два отрезка длины a и b. Вычтем из большего отрезка меньший и заменим больший отрезок полученной разностью. Повторяем эту операцию, вычитая из большего отрезка меньший, пока отрезки не станут равны. Если это произойдёт, то исходные отрезки соизмеримы, и последний полученный отрезок есть их наибольшая общая мера. Если общей меры нет, то процесс бесконечен. В таком виде алгоритм описан Евклидом[2] и реализуется с помощью циркуля и линейки.

Для иллюстрации алгоритм Евклида будет использован, чтобы найти НОД a = 1071 и b = 462. Для начала от 1071 отнимем кратное значение 462, пока не получим разность меньше, чем 462. Мы должны дважды отнять 462, (q₀ = 2), оставаясь с остатком 147:

1071 = 2 × 462 + 147.

Затем от 462 отнимем кратное значение 147, пока не получим разность меньше, чем 147. Мы должны трижды отнять 147 (q₁ = 3), оставаясь с остатком 21:

462 = 3 × 147 + 21.

Затем от 147 отнимем кратное значение 21, пока не получим разность меньше, чем 21. Мы должны семь раз отнять 21 (q₂ = 7), оставаясь без остатка:

147 = 7 × 21 + 0.

Таким образом последовательность a > b > r₁ > r₂ > r₃ > … > r_n в данном конкретном случае будет выглядеть так:

1071 > 462 > 147 > 21.

Так как последний остаток равен нулю, алгоритм заканчивается числом 21 и НОД(1071, 462) = 21.

В табличной форме шаги были следующие:

Если требуется найти НОД для более чем двух чисел, алгоритм аналогичен, на каждом шаге все числа, кроме наименьшего, заменяются остатками по модулю наименьшего. Нулевые остатки, если получатся, вычёркиваются. Алгоритм завершается, когда остаётся одно ненулевое число, это и есть НОД.

Формулы для ${\displaystyle r_{i}}$ могут быть переписаны следующим образом:

${\displaystyle r_{1}=a+b(-q_{0})}$

${\displaystyle r_{2}=b-r_{1}q_{1}=a(-q_{1})+b(1+q_{1}q_{0})}$

${\displaystyle \vdots }$

НОД ${\displaystyle (a,b)=r_{n}=as+bt}$

Здесь s и t целые. Это представление наибольшего общего делителя называется соотношением Безу, а числа s и t — коэффициентами Безу[13]. Соотношение Безу является ключевым в доказательстве леммы Евклида и основной теоремы арифметики.

Алгоритм Евклида достаточно тесно связан с цепными дробями[6]. Отношение a/b допускает представление в виде цепной дроби:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=[q_{0};q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n}]}$.

При этом цепная дробь без последнего члена равна отношению коэффициентов Безу t/s, взятому со знаком минус:

${\displaystyle [q_{0};q_{1},q_{2},\cdots ,q_{n-1}]=-{\frac {t}{s}}}$.

Последовательность равенств, задающая алгоритм Евклида, может быть переписана в форме:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{b}}&=q_{0}+{\frac {r_{0}}{b}}\\{\frac {b}{r_{0}}}&=q_{1}+{\frac {r_{1}}{r_{0}}}\\{\frac {r_{0}}{r_{1}}}&=q_{2}+{\frac {r_{2}}{r_{1}}}\\&{}\ \vdots \\{\frac {r_{k-2}}{r_{k-1}}}&=q_{k}+{\frac {r_{k}}{r_{k-1}}}\\&{}\ \vdots \\{\frac {r_{N-2}}{r_{N-1}}}&=q_{N}\end{aligned}}}$

Последнее слагаемое в правой части равенства всегда равно обратному значению левой части следующего уравнения. Поэтому первые два уравнения могут быть объединены в форме:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {r_{1}}{r_{0}}}}}}$

Третье равенство может быть использовано, чтобы заменить знаменатель выражения r₁/r₀, получим:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {1}{q_{2}+{\cfrac {r_{2}}{r_{1}}}}}}}}$

Последнее отношение остатков r_k/r_k−1 всегда может быть заменено с использованием следующего равенства в последовательности, и так до последнего уравнения. Результатом является цепная дробь:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=q_{0}+{\cfrac {1}{q_{1}+{\cfrac {1}{q_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{q_{N}}}}}}}}}=[q_{0};q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}]}$

В приведённом выше примере НОД(1071, 462) был посчитан и были найдены частные q_k, равные 2, 3 и 7 соответственно. Поэтому 1071/462 может быть записана как:

${\displaystyle {\frac {1071}{462}}=2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{7}}}}=[2;3;7]}$

Диофантово уравнение — это уравнение с целочисленными коэффициентами и с одним или несколькими переменными, причём ставится задача поиска лишь его целых корней. Такое уравнение может иметь бесконечно много решений, конечное число решений или не иметь их вовсе. Простейшее диофантово уравнение — линейное с двумя неизвестными:

${\displaystyle a\cdot x+b\cdot y=c,}$

где a, b, c — целые числа. С помощью алгоритма Евклида может быть найдено полное решение уравнения такого типа[5]. Сначала с помощью этого алгоритма можно определить d = НОД(a, b). Затем, используя расширенный алгоритм Евклида, определяются такие k и l, что:

${\displaystyle a\cdot k+b\cdot l=d.}$

То есть x = k и y = l — это частное решение уравнения при c = d. Получается, что если c = q⋅d, то x = q⋅k, y = q⋅l — частное решение исходного уравнения, так как:

${\displaystyle a\cdot x+b\cdot y=a\cdot (q\cdot k)+b\cdot (q\cdot l)=q\cdot (a\cdot k+b\cdot l)=q\cdot d=c.}$

Обратно, если существует хотя бы одно решение уравнения, то c кратно d. Это следует из того, что d делит и a, и b (а значит, и всю левую часть), поэтому должно делить и c (правую часть). Таким образом, линейное диофантово уравнение имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда c кратно НОД(a, b).

Кольца, в которых применим алгоритм Евклида, называются евклидовыми кольцами[14]. К ним относятся, в частности, кольца целых чисел и кольца многочленов.

Алгоритм Евклида и расширенный алгоритм Евклида естественным образом обобщается на кольцо многочленов k[x] от одной переменной над произвольным полем k, поскольку для таких многочленов определена операция деления с остатком. При выполнении алгоритма Евклида для многочленов аналогично алгоритму Евклида для целых чисел получается последовательность полиномиальных остатков (PRS)[15].

• Одним из методов ускорения целочисленного алгоритма Евклида является использование симметричного остатка[16]:

${\displaystyle r_{i}\equiv r_{i-2}{\pmod {r_{i-1}}},}$

где

${\displaystyle -{\frac {r_{i-1}}{2}}\leq r_{i}\leq {\frac {r_{i-1}}{2}}.}$

• Одна из версий ускоренного алгоритма Евклида для полиномов основывается на том, что промежуточные значения алгоритма в основном зависят от высоких степеней. Применение стратегии «разделяй и властвуй» позволяет уменьшить асимптотическую сложность алгоритма[16].

Число шагов для вычисления НОД двух натуральных чисел a и b обозначим как T(a, b). Если g — это наибольший общий делитель a и b, тогда a = mg и b = ng для двух взаимно простых чисел m и n. Тогда T(a, b) = T(m, n), что можно заметить, если разделить уравнения, полученные при вычислении НОД для пары (a, b), на g.[26] Используя тот же принцип, число шагов алгоритма остаётся неизменным, если a и b умножаются на общий множитель w, что эквивалентно равенству T(a, b) = T(wa, wb). Следовательно, количество шагов T может сильно различаться между соседними парами чисел, такими как (a, b) и (a, b+1), так как данная величина зависит от НОД.

Рекурсивный характер алгоритма Евклида даёт следующее уравнение T(a, b) = 1 + T(b, r₀) = 2 + T(r₀, r₁) = … = N + T(r_N−2, r_N−1) = N + 1, где T(x, 0) = 0 по предположению.[17]

Если для алгоритма Евклида требуются N шагов для пары натуральных чисел a > b > 0, наименьшие значения a и b, для которых это выполняется — числа Фибоначчи F_N+2 и F_N+1 соответственно.[27] Тогда, если алгоритм Евклида требует N шагов для пары чисел (a,b), где a > b, выполняются следующие неравенства a ≥ F_N+2 и b ≥ F_N+1. Доказать это можно по математической индукции. Если N = 1, тогда a делится на b без остатка. Наименьшие натуральные числа, для которых это верно, равны b = 1 и a = 2, соответственно F₂ и F₃. Предположим теперь, что результат выполняется для всех значений N до M − 1. Первый шаг алгоритма Евклида с M шагами a = q₀b + r₀, и алгоритм Евклида для пары чисел (b,r₀), где b > r₀, требует M − 1 шагов. По предположению индукции имеем b ≥ F_M+1 и r₀ ≥ F_M. Следовательно, a = q₀b + r₀ ≥ b + r₀ ≥ F_M+1 + F_M = F_M+2, что является искомым неравенством. Это доказательство, опубликованное Габриэлем Ламе в 1844 году, представляет собой начало теории сложности вычислений,[28] а также первое практическое применение чисел Фибоначчи.[27]

Число делений с остатком в процессе применения алгоритма Евклида не превосходит упятеренного количества цифр меньшего числа ${\displaystyle b}$, записанного в десятичной системе.[29]

Существуют различные способы вычисления среднего количества шагов алгоритма. Первый способ вычисления — среднее время T(a), необходимое для вычисления НОД заданного числа a и меньшего натурального числа b, выбранного с равной вероятностью из целых чисел от 0 до a − 1.[17]

${\displaystyle T(a)={\frac {1}{a}}\sum _{0\leq b<a}T(a,b).}$

Однако, поскольку T(a, b) сильно колеблется в зависимости от НОД двух чисел, усреднённая функция T(a) также является «шумной».[30] Для того, чтобы уменьшить этот шум, второе среднее τ(a) берётся по всем числам, взаимно простым с a.

${\displaystyle \tau (a)={\frac {1}{\varphi (a)}}\sum _{\begin{smallmatrix}0\leq b<a\\\gcd(a,b)=1\end{smallmatrix}}T(a,b)}$

где φ(a) функция Эйлера. Это среднее плавно растёт с ростом a.[31]

${\displaystyle \tau (a)={\frac {12}{\pi ^{2}}}\ln 2\ln a+C+O(a^{-1/6-\varepsilon })}$

Константа (константа Портера[32]) в этой формуле ${\displaystyle C\approx 1.467}$, а ε является бесконечно малым.

Третье среднее значение Y(n) определяется как среднее число шагов, требуемых, когда a и b выбираются случайным образом (с равномерным распределением) от 1 до n.

${\displaystyle Y(n)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{a=1}^{n}\sum _{b=1}^{n}T(a,b)={\frac {1}{n}}\sum _{a=1}^{n}T(a).}$

На каждом шаге алгоритма Евклида вычисляется коэффициент q_k и остаток r_k для заданной пары целых чисел r_k−2 и r_k−1. Эти величины связаны следующим соотношением:

r_k−2 = q_k r_k−1 + r_k

Вычислительная сложность каждого шага связана главным образом с нахождением q_k, так как остаток r_k можно быстро вычислить используя r_k−2, r_k−1, и q_k

r_k = r_k−2 − q_k r_k−1

Вычислительная сложность операции деления чисел размером h бит оценивается как O(h(ℓ+1)), где ℓ размер частного.[24]

Для сравнения, исходный алгоритм Евклида, с использованием вычитания, может быть намного медленнее. В большинстве случаев коэффициент q_k является малым числом. Вероятность данного частного q примерно равна ln|u/(u − 1)|, где u = (q + 1)².[33] Для иллюстрации вероятность частного 1, 2, 3 или 4 составляет примерно 41,5 %, 17,0 %, 9,3 % и 5,9 % соответственно. Так как операция вычитания быстрее, чем деление, особенно для чисел больше одного машинного слова,[34] алгоритм Евклида с использованием вычитания может быть более конкурентоспособным в сравнении с алгоритмом, использующим деление.[35] Это используется в бинарном алгоритме вычисления НОД.[36]

Оценка сложности алгоритма вычисляется как произведение количества шагов на время выполнения одного шага. Она показывает, что алгоритм Евклида растёт квадратично O(h²), где h — среднее число цифр в двух начальных числах a и b в десятичной записи. Пусть h₀, h₁, …, h_N−1 представляют число цифр в последовательных остатках r₀, r₁, …, r_N−1. Так как число шагов N растёт линейно с h , время работы ограничено следующим выражением:

${\displaystyle O{\Big (}\sum _{i<N}h_{i}(h_{i}-h_{i+1}+2){\Big )}\subseteq O{\Big (}h\sum _{i<N}(h_{i}-h_{i+1}+2){\Big )}\subseteq O(h(h_{0}+2N))\subseteq O(h^{2}).}$