Ряд Штурма

Рассмотрим многочлен ${\displaystyle f(x)}$ с вещественными коэффициентами. Конечная упорядоченная последовательность отличных от нуля многочленов с вещественными коэффициентами:

${\displaystyle f_{0}(x),f_{1}(x),...,f_{s}(x)\quad }$

называется рядом Штурма для многочлена ${\displaystyle f(x)}$, если выполнены следующие условия:

• множества корней ${\displaystyle f_{0}}$ и ${\displaystyle f}$ совпадают;
• ${\displaystyle f_{s}(x)\quad }$ не имеет вещественных корней;
• если ${\displaystyle f_{k}(c)=0\quad }$ и ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant s-1}$, то ${\displaystyle f_{k-1}(c)f_{k+1}(c)<0}$;
• если ${\displaystyle f(c)=0\quad }$, то произведение ${\displaystyle f_{0}(c)f_{1}(c)\quad }$ меняет знак с минуса на плюс, когда ${\displaystyle x}$, возрастая, проходит через точку ${\displaystyle c}$, то есть когда существует такое ${\displaystyle \delta >0}$, что ${\displaystyle f_{0}(x)f_{1}(x)<0\quad }$ для ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c)}$ и ${\displaystyle f_{0}(x)f_{1}(x)>0\quad }$ для ${\displaystyle x\in (c,c+\delta )}$.

Значением ряда Штурма в точке ${\displaystyle c}$ называется количество смен знака в последовательности ${\displaystyle f_{0}(c),f_{1}(c),...,f_{s}(c)}$ после исключения нулей.

Иногда ряд Штурма также определяют как построенный определённым образом ряд Штурма.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — ненулевой многочлен с вещественными коэффициентами, ${\displaystyle f_{0}(x),f_{1}(x),...,f_{s}(x)}$ — некоторый ряд Штурма для него, ${\displaystyle [a,b]}$ — промежуток вещественной прямой, причём ${\displaystyle f(a)f(b)\neq 0}$. Тогда число различных корней многочлена ${\displaystyle f(x)}$ на промежутке ${\displaystyle [a,b]}$ равно ${\displaystyle W(a)-W(b)}$, где ${\displaystyle W(c)}$ — значение ряда Штурма в точке ${\displaystyle c}$.

Ряд Штурма существует для любого ненулевого вещественного многочлена.

Пусть многочлен ${\displaystyle f(x)}$, отличающийся от константы, не имеет кратных корней. Тогда ряд Штурма для него можно построить, например, следующим образом:

• ${\displaystyle f_{0}(x)=f(x)}$;
• ${\displaystyle f_{1}(x)=f_{0}'(x)}$;
• Если ${\displaystyle f_{k}(x)}$ (${\displaystyle k>0}$) имеет корни, то ${\displaystyle f_{k+1}(x)=-f_{k-1}(x){\bmod {f}}_{k}(x)}$, где ${\displaystyle f(x){\bmod {g}}(x)}$ — остаток от деления многочлена ${\displaystyle f(x)}$ на многочлен ${\displaystyle g(x)}$ в кольце многочленов ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$, иначе ${\displaystyle s=k}$ и построение заканчивается.

Для произвольного многочлена (возможно с кратными корнями), отличающегося от константы, можно положить:

${\displaystyle f_{0}(x)={\frac {f(x)}{(f(x),f'(x))}}}$,

и далее следовать приведенному выше способу. Здесь ${\displaystyle (f(x),f'(x))}$ — наибольший общий делитель многочленов ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle f'(x)}$.

Если многочлен ${\displaystyle f(x)}$ есть ненулевая константа, то его ряд Штурма состоит из единственного многочлена ${\displaystyle f_{0}(x)=f(x)}$.

Ряд Штурма используется для определения количества вещественных корней многочлена на промежутке (см. теорему Штурма). Отсюда вытекает возможность его использования для приближённого вычисления вещественных корней методом двоичного поиска.

Пример

Построим указанным выше способом ряд Штурма для многочлена ${\displaystyle f(x)=(x-1)(x-3)=x^{2}-4x+3}$

Многочлен ${\displaystyle f_{i}(x)}$	Знак многочлена в точке
	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle +\infty }$
${\displaystyle f_{0}(x)=x^{2}-4x+3}$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle 0\quad }$	${\displaystyle -\quad }$	${\displaystyle 0\quad }$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle +\quad }$
${\displaystyle f_{1}(x)=2x-4}$	${\displaystyle -\quad }$	${\displaystyle -\quad }$	${\displaystyle -\quad }$	${\displaystyle 0\quad }$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle +\quad }$
${\displaystyle f_{2}(x)=1}$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle +\quad }$	${\displaystyle +\quad }$
Значение ряда в точке	${\displaystyle 2\quad }$	${\displaystyle 2\quad }$	${\displaystyle 1\quad }$	${\displaystyle 1\quad }$	${\displaystyle 0\quad }$	${\displaystyle 0\quad }$	${\displaystyle 0\quad }$

Таким образом, по теореме Штурма число корней многочлена ${\displaystyle f(x)}$ равно:

• ${\displaystyle 2-0=2}$ на промежутке ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$
• ${\displaystyle 2-0=2}$ на промежутке ${\displaystyle (0,4)}$
• ${\displaystyle 2-1=1}$ на промежутке ${\displaystyle (0,2)}$

• Теорема Декарта
• Обобщенная теорема Штурма

• Кострикин А. И. Введение в алгебру, ч. 1 «Основы алгебры», изд. 2 исправленное, — Физматлит, Москва, 2004.
• Шафаревич И. Р. О решении уравнений высших степеней (метод Штурма). — М.: Гостехиздат, 1954.
• Штурма теорема — статья из Математической энциклопедии. Проскуряков И. В.