Нормальная матрица

Среди комплексных матриц все унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные, симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например,

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}}$

не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку

${\displaystyle AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A.}$

Предложение. Нормальная треугольная матрица диагональна.

Пусть A — нормальная верхне-треугольная матрица. Поскольку (A^∗A)_ii = (AA^∗)_ii, первая строка должна иметь ту же норму, что и первый столбец:

${\displaystyle \left\|Ae_{1}\right\|^{2}=\left\|A^{*}e_{1}\right\|^{2}.}$

Первые элементы первой строки и первого столбца совпадают, а остаток первого столбца состоит из нулей. Из этого следует, что и в строке все элементы от 2 до n должны быть нулевыми. Продолжая эти рассуждения для пар строка/столбец с номерами от 2 до n, получим, что A диагональна.

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы — это в точности те, которых касается спектральная теорема:

Предложение. Матрица A нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица Λ и унитарная матрица U, такие что A = UΛU ^∗.

Диагональные элементы матрицы Λ являются собственными числами, а столбцы U — собственными векторами матрицы A. (собственные значения в Λ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в U).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства Cⁿ. Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с Cⁿ и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в Cⁿ.

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура, которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть A — квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, B. Если A нормальна, то и B нормальна тоже. Но тогда B должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:

Предложение. Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости.

Предложение. Нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в R.

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей. Однако выполняется следующее:

Предложение. Если A и B нормальны и выполняется AB = BA, то и AB, и A + B также нормальны. Более того, существует унитарная матрица U, такая, что UAU ^∗ и UBU ^∗ диагональны. Другими словами, A и B совместно приводимы к диагональной форме.

В этом частном случае столбцы матрицы U ^∗ являются собственными векторами, как A, так и B, и образуют ортонормальный базис в Cⁿ. Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы совместно приводимы к треугольному виду и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть A — n × n комплексная матрица. Следующие высказывания эквивалентны:

1. A нормальна.
2. A является приводимой к диагональной форме с помощью унитарной матрицы.
3. Все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы A.
4. ||Ax|| = ||A^∗x|| для любого x.
5. Норму Фробениуса матрицы A можно вычислить по собственным значениям матрицы A: ${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum \nolimits _{j}|\lambda _{j}|^{2}.}$
6. Эрмитова часть ${\displaystyle (A+A^{\ast })/2}$ и косоэрмитова часть ${\displaystyle (A-A^{\ast })/2}$ матрицы A коммутируют.
7. A^∗ является многочленом (степени ≤ n − 1) от A[1].
8. A^∗ = AU для некоторой унитарной матрицы U[2].
9. U и P коммутируют, где U и P представляют полярное разложение A = UP на унитарную матрицу U и некую положительно определённую матрицу P.
10. A коммутирует с некоторой нормальной матрицей N, имеющей различные собственные значения.
11. σ_i = |λ_i| для всех 1 ≤ i ≤ n, где A имеет сингулярные собственные значения σ₁ ≥ ... ≥ σ_n и собственные вектора |λ₁| ≥ ... ≥ |λ_n|.[3]
12. Операторная норма нормальной матрицы A равна числовому и спектральному радиусу матрицы A. Это означает:

${\displaystyle \sup _{\|x\|=1}\|Ax\|=\sup _{\|x\|=1}|\langle Ax,x\rangle |=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (A)\}}$

Некоторые, но не все перечисленные выше определения можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9), является лишь квазинормальным.

Иногда полезно (а иногда это и вводит в заблуждение) рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналогию различных видов комплексных чисел:

• Обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел
• Сопряжено-транспонированная матрица является аналогом сопряжённого числа
• Унитарные матрицы является аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной 1
• Эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел
• Эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел
• Косоэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел

Можно комплексные числа вложить в нормальные 2 × 2 вещественные матрицы путём отображения

${\displaystyle a+bi\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}},}$

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение. Легко проверить, что при этом сохранятся все вышеперечисленные аналогии.

• Horn, Roger A. & Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.