Антиэрмитова матрица

• Матрица B эрмитова тогда и только тогда, когда матрица i B антиэрмитова. Отсюда следует, что если A — антиэрмитова, то матрицы ±iA эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица A может быть представлена в виде A = i B, где B эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.
• Матрица A антиэрмитова тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X^{\dagger }A^{\dagger }Y=-X^{\dagger }AY}$ для любых векторов ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ (форма ${\displaystyle X^{\dagger }AY}$ — антиэрмитова).
• Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).
• Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.
• Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если ${\displaystyle A}$ антиэрмитова, то ${\displaystyle A^{2}}$ эрмитова.
• Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.
• Любую квадратную матрицу можно представит как сумму эрмитовой и антиэрмитовой:

${\displaystyle M=M_{h}+M_{a}}$,

где

${\displaystyle M_{h}={\frac {1}{2}}(M+M^{\dagger })}$ — эрмитова,

${\displaystyle M_{a}={\frac {1}{2}}(M-M^{\dagger })}$ — антиэрмитова.

• Матрица ${\displaystyle A}$ антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента ${\displaystyle e^{A}}$ унитарна.

• Антиэрмитовы матрицы образуют алгебру Ли ${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$ группы Ли ${\displaystyle U(n)}$.

• Для любого комплексного числа ${\displaystyle \lambda }$ такого, что ${\displaystyle |\lambda |=1}$, существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами ${\displaystyle U}$, не имеющих собственных чисел равных ${\displaystyle a}$, и антиэрмитовыми матрицами ${\displaystyle A}$, задаваемое формулами Кэли:

${\displaystyle U=\lambda (A-I)(A+I)^{-1},}$

${\displaystyle A=\lambda (aI+U)(aI-U)^{-1},}$

где ${\displaystyle I}$ — единичная матрица.

В частности, при ${\displaystyle \lambda =-1}$:

${\displaystyle U=(I-A)(I+A)^{-1},}$

${\displaystyle A=(I-U)(I+U)^{-1}.}$

• Эрмитова матрица
• Антисимметричная матрица

Brookes, M., "The Matrix Reference Manual", Imperial College, London, UK