Экспонента матрицы

Для комплексных матриц ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ размера ${\displaystyle n\times n}$, произвольных комплексных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, единичной матрицы ${\displaystyle E}$ и нулевой матрицы ${\displaystyle 0}$, экспонента обладает следующим свойствами:

• ${\displaystyle \exp 0=E}$;
• ${\displaystyle \exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)}$;
• ${\displaystyle \exp X\exp \left(-X\right)=E}$;
• если ${\displaystyle XY=YX}$, то ${\displaystyle \exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)}$;
• если ${\displaystyle Y}$ — невырожденная матрица, то ${\displaystyle \exp(YXY^{-1})=Y\exp(X)Y^{-1}}$.
• ${\displaystyle \exp X^{\mathrm {T} }=(\exp X)^{\mathrm {T} }}$, где ${\displaystyle X^{\mathrm {T} }}$ обозначает транспонированную матрицу для ${\displaystyle X}$, отсюда следует, что если ${\displaystyle X}$ является симметричной, то ${\displaystyle \exp X}$ тоже симметрична, а если ${\displaystyle X}$ — кососимметричная матрица, то ${\displaystyle \exp X}$ — ортогональная;
• ${\displaystyle \exp(X^{*})=(\exp X)^{*}}$, где ${\displaystyle X^{*}}$ обозначает эрмитово-сопряжённую матрицу для ${\displaystyle X}$, отсюда следует, что если ${\displaystyle X}$ — эрмитова матрица, то ${\displaystyle \exp X}$ тоже эрмитова, а если ${\displaystyle X}$ — антиэрмитова матрица, то ${\displaystyle \exp X}$ — унитарная.

Одна из причин, обуславливающих важность матричной экспоненты, заключается в том, что она может быть использована для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений[1]. Решение системы:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}}$,

где ${\displaystyle A}$ — постоянная матрица, даётся выражением:

${\displaystyle y(t)=e^{At}y_{0}.}$

Матричная экспонента может быть также использована для решения неоднородных уравнений вида

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}}$.

Не существует замкнутого аналитического выражения для решений неавтономных дифференциальных уравнений вида

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}}$,

где ${\displaystyle A}$ — не постоянная, но разложение Магнуса позволяет получить представление решения в виде бесконечной суммы.

Для любых двух вещественных чисел (скаляров) ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ экспоненциальная функция удовлетворяет уравнению ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y}}$, это же свойство имеет место для симметричных матриц — если матрицы ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ коммутируют (то есть ${\displaystyle XY=YX}$), то ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)}$. Однако для некоммутирующих матриц это равенство выполняется не всегда, в общем случае для вычисления ${\displaystyle \exp(X+Y)}$ используется формула Бейкера — Кэмпбелла — Хаусдорфа.

В общем случае из равенства ${\displaystyle \exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)}$ не следует, что ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ коммутируют.

Для эрмитовых матриц существует две примечательные теоремы, связанные со следом экспонент матриц.

Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle H}$ — эрмитовы матрицы, то[2]:

${\displaystyle \operatorname {tr} \exp(A+H)\leqslant \operatorname {tr} (\exp(A)\exp(H))}$,

где ${\displaystyle \operatorname {tr} X}$ — след матрицы ${\displaystyle X}$. Коммутативность для выполнения данного утверждения не требуется. Существуют контрпримеры, которые показывают, что неравенство Голдена — Томпсона не может быть расширено на три матрицы, а ${\displaystyle \operatorname {tr} (\exp(A)\exp(B)\exp(C))}$ не всегда является вещественным числом для эрмитовых матриц ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$.

Теорема Либа, названная по имени Эллиотта Либа, гласит, что для фиксированной эрмитовой матрицы ${\displaystyle H}$, функция:

${\displaystyle f(A)=\operatorname {tr} \,\exp \left(H+\log A\right)}$

является вогнутой на конусе положительно-определённых матриц[3].

Экспонента матрицы всегда является невырожденной матрицей. Обратная к ${\displaystyle \exp X}$ матрица равна ${\displaystyle \exp(-X)}$, это аналог того факта, что экспонента от комплексного числа никогда не равна нулю. Таким образом, матричная экспонента определяет отображение:

${\displaystyle \exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$

из пространства всех матриц размерности ${\displaystyle n\times n}$ на полную линейную группу порядка ${\displaystyle n}$, то есть группу всех невырожденных матриц размерности ${\displaystyle n\times n}$. Это отображение является сюръекцией, то есть каждая невырожденная матрица может быть записана как экспонента от некоторой другой матрицы (чтобы это имело место необходимо рассматривать поле комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$, а не вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Для любых двух матриц ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ имеет место неравенство

${\displaystyle \|e^{X+Y}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{\|X\|}e^{\|Y\|}}$,

где ${\displaystyle \|\cdot \|}$ обозначает произвольную матричную норму. Отсюда следует, что экспоненциальное отображение является непрерывным и липшицевым на компактных подмножествах ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$.

Отображение:

${\displaystyle t\mapsto e^{tX},\qquad t\in \mathbb {R} }$

определяет гладкую кривую в полной линейной группе, которая проходит через единичный элемент при ${\displaystyle t=0}$.

Для системы:

${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matrix}}}$

её матрица есть:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.}$

Можно показать, что экспонента от матрицы ${\displaystyle tA}$ есть

${\displaystyle e^{tA}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(1+e^{2t}-2t)&-2te^{2t}&e^{2t}(-1+e^{2t})\\-e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)&2(t+1)e^{2t}&-e^{2t}(-1+e^{2t})\\e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)&2te^{2t}&e^{2t}(1+e^{2t})\end{bmatrix}}~,}$

таким образом, общее решение этой системы есть:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(1+e^{2t}-2t)\\-e^{2t}(-1+e^{2t}-2t)\\e^{2t}(-1+e^{2t}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{2t}\\2(t+1)e^{2t}\\2te^{2t}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{2t}(-1+e^{2t})\\-e^{2t}(-1+e^{2t})\\e^{2t}(1+e^{2t})\end{bmatrix}}~.}$

Для решения неоднородной системы:

${\displaystyle {\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{2t}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{2t}\end{matrix}}}$

вводятся обозначения:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,}$

и

${\displaystyle \mathbf {b} =e^{2t}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Так как сумма общего решения однородного уравнения и частного решения дают общее решение неоднородного уравнения, остаётся лишь найти частное решение. Так как:

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{(-u)A}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{2u}&-2ue^{2u}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{2u}&2(u+1)e^{2u}&0\\\\2ue^{2u}&2ue^{2u}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{2u}\\0\\e^{2u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{tA}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{2u}(2e^{u}-2ue^{2u})\\\\e^{2u}(-2e^{u}+2(1+u)e^{2u})\\\\2e^{3u}+2ue^{4u}\end{bmatrix}}\,du+e^{tA}\mathbf {c} }$

${\displaystyle \mathbf {y} _{p}=e^{tA}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{3t}(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{2t}&-2te^{2t}&0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{2t}&2(t+1)e^{2t}&0\\\\2te^{2t}&2te^{2t}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,}$

где ${\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {y} _{p}(0)}$ — начальное условие.

В случае неоднородной системы можно использовать метод вариации произвольной постоянной. Ищется частное решение в виде: ${\displaystyle \mathbf {y} _{p}(t)=\exp(tA)\mathbf {z} (t)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}'(t)&=(e^{tA})'\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=Ae^{tA}\mathbf {z} (t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)\\[6pt]&=A\mathbf {y} _{p}(t)+e^{tA}\mathbf {z} '(t)~.\end{aligned}}}$

Чтобы ${\displaystyle \mathbf {y} _{p}}$ было решением, должно иметь место следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{tA}\mathbf {z} '(t)&=\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} '(t)&=(e^{tA})^{-1}\mathbf {b} (t)\\[6pt]\mathbf {z} (t)&=\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+\mathbf {c} ~.\end{aligned}}}$

Таким образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{p}(t)&{}=e^{tA}\int _{0}^{t}e^{-uA}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \\&{}=\int _{0}^{t}e^{(t-u)A}\mathbf {b} (u)\,du+e^{tA}\mathbf {c} \end{aligned}}~,}$

где ${\displaystyle \mathbf {c} }$ определяется из начальных условий задачи.